Grupo quociente

Em matemática, o grupo quociente G/N pode ser entendido, de forma intuitiva, ao se considerar em um grupo G e um seu subconjunto N como se os elementos de N fossem igualados ao elemento neutro.

Mais precisamente, seja N um subconjunto do grupo G. Então o grupo quociente G/N é um grupo de subconjuntos de G, sendo N o elemento neutro deste grupo, satisfazendo:

x , y ∈ G , X , Y ∈ G / N , x ∈ X , y ∈ Y ⟹ x y ∈ X Y {\displaystyle x,y\in G,X,Y\in G/N,x\in X,y\in Y\implies xy\in XY\,}

Prova-se que a condição necessária e suficiente para que esta operação seja bem-definida e torne G/N um grupo é que N seja um subgrupo normal de G.

Exemplos

Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} pode ser visto como um subgrupo normal de Z 12 {\displaystyle \mathbb {Z} _{12}} , cujas classes laterais (denotadas com cores distintas) formam um grupo cíclico com 3 elementos.
  • O conjunto n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } dos múltiplos de um número inteiro positivo n é um subgrupo normal de Z {\displaystyle \mathbb {Z} } e Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } é o grupo cíclico com n elementos.
  • Se n divide m, então Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} pode ser visto como um subgrupo normal de Z m {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}} e Z m / Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{m}/\mathbb {Z} _{n}} é isomorfo a Z m / n {\displaystyle \mathbb {Z} _{m/n}} .
  • Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é um subgrupo normal de R {\displaystyle \mathbb {R} } e R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } é isomorfo ao grupo circular S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} .
  • Seja S n {\displaystyle S_{n}\,} o grupo das permutações de um conjunto de n elementos, e A n {\displaystyle A_{n}\,} o subgrupo normal das permutações pares. Então S n / A n {\displaystyle S_{n}/A_{n}\,} é isomorfo a Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} .
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