Gradiente inclinado

Na matemática, um gradiente inclinado de uma função harmônica sobre um domínio simplesmente conectado com duas dimensões reais é um campo vetorial ortogonal em todo lugar ao gradiente da função e que tem a mesma magnitude que o gradiente.

Definição

O gradiente de inclinação pode ser definido usando análises complexas e as equações de Cauchy-Riemann .

Deixei ${\displaystyle f(z(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)}$ ser uma função analítica de valor complexo, em que ${\textstyle u,v}$ são funções escalares de valor real das variáveis reais   ${\displaystyle x,y}$.

Um gradiente de inclinação é definido como:

$${\displaystyle \nabla ^{\perp }u(x,y)=\nabla v(x,y)}$$

e das equações de Cauchy-Riemann, é possível deduzir que

$${\displaystyle \nabla ^{\perp }u(x,y)=\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}$$

Propriedades

O gradiente de inclinação tem duas propriedades interessantes. Está em toda parte ortogonal ao gradiente de ${\displaystyle u}$ e com o mesmo comprimento:

$${\displaystyle \nabla u(x,y)\cdot \nabla ^{\perp }u(x,y)=0,\rVert \nabla u\rVert =\rVert \nabla ^{\perp }u\rVert }$$

Referências