Função zeta de Dedekind

Em matemática, a função zeta de Dedekind é uma série de Dirichlet definida para qualquer corpo numérico algébrico K {\displaystyle K} , e notado ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} onde s {\displaystyle s} é uma variável complexa. É a soma infinita

ζ K ( s ) = ∑ I ⊆ O K ( N K / Q ( I ) ) − s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq O_{K}}(N_{K/\mathbb {Q} }(I))^{-s}}

onde I {\displaystyle I} situa-se entre os ideais não zero do anel de inteiros O K {\displaystyle O_{K}} de K {\displaystyle K} . Aqui N K / Q ( I ) = [ O K : I ] {\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(I)=[O_{K}:I]} denota a norma de I {\displaystyle I} (ao corpo racional Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ). É igual à cardinalidade de O K / I {\displaystyle O_{K}/I} , em outras palavras, o número de classes residuais de módulo I {\displaystyle I} . Esta soma converge absolutamente para todos os números complexos s {\displaystyle s} com parte real R e ( s ) > 1 {\displaystyle Re(s)>1} . No caso K = Q {\displaystyle K=\mathbb {Q} } esta definição reduz-se à função zeta de Riemann.

As propriedades de ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} como uma função meromorfa leva a ser de considerável significância em teoria algébrica dos números. Ela tem um produto de Euler, o qual é um produto sobre todos os ideais primos P {\displaystyle P} de O K {\displaystyle O_{K}}

ζ K ( s ) = ∏ P ⊆ O K 1 1 − ( N K / Q ( P ) ) − s . {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{P\subseteq O_{K}}{\frac {1}{1-(N_{K/\mathbb {Q} }(P))^{-s}}}.}

Esta é a expressão em termos analíticos da fatoração em primos única dos ideais I {\displaystyle I} .

É conhecido (provado primeiramente de maneira geral por Erich Hecke) que ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} tem uma extensão analítica a todo o plano complexo como uma função meromórfica, tendo um polo simples somente em s = 1. O resíduo no polo é uma grandeza importante, envolvendo invariantes do grupo unidade e grupo de classe de K; detalhes estão na fórmula de classe numérica. Existe uma equação funcional para a função zeta de Dedekind, relacionando seus valores em s e 1−s.

Para o caso no qual K é uma extensão abeliana de Q, sua função zeta de Dedekind pode ser escrita como o produto de funções L de Dirichlet. Por exemplo, quando K é um corpo quadrático isto mostra que a razão

ζ K ( s ) ζ Q ( s ) {\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}}

é uma função L L(s,χ); onde χ {\displaystyle \chi } é um símbolo de Jacobi como caráter de Dirichlet. Que a função zeta de um corpo quadrático é um produto da função zeta de Riemann e uma certa função L de Dirichlet é uma formulação analítica da lei de Gauss da reciprocidade quadrática.

Em geral se K é uma extensão de Galois de Q com grupo de Galois G, sua função zeta de Dedekind tem uma fatorização comparável em termos de funções L de Artin. Estas são ligadas a representações lineares de G.

Referências gerais