Função localmente integrável

Em matemática, uma função é dita localmente integrável em um subconjunto ${\displaystyle E\,}$ de seu domínio se for integrável em cada subconjunto pré-compacto de ${\displaystyle E\,}$. O espaço das funções localmente integráveis em ${\displaystyle E\,}$ é denotado por ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}(E)\,}$

Definição

Seja ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} \,}$ uma função mensurável. Dizemos que ${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(E)\,}$ se ${\displaystyle E\,}$ é um subconjunto mensurável de ${\displaystyle D\,}$ e vale que:

• ${\displaystyle \forall V\subseteq {\overline {V}}\subseteq E\,}$ com ${\displaystyle {\overline {V}}\,}$ compacto então ${\displaystyle f\in L^{1}(V)\,}$

Esta definição pode ser generalizada para os espaços ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(V)\,}$.

Propriedades

• Se ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty \,}$ então ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{q}(E)\subseteq L_{\mathrm {loc} }^{p}(E)\subseteq L^{p}(E)\,}$

Exemplo: Sendo ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}}$ para ${\displaystyle x\neq 0}$ e ${\displaystyle f(0)=0}$, temos ${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} )}$ e ${\displaystyle f\not \in L_{\mathrm {loc} }^{2}(\mathbb {R} )}$.