Fibrado de espinores

Em geometria diferencial, dado uma estrutura espinorial sobre uma variedade Riemanniana ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle (M,g),\,}$ define-se o fibrado de espinores, ou fibrado espinorial, como sendo o fibrado vetorial complexo ${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\colon {\mathbf {S} }\to M\,}$ associado ao correspondente fibrado principal ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ de estruturas de espinores sobre ${\displaystyle M}$ e a representação espinorial de seus grupo de estrutura ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)\,}$ sobre o espaço de espinores ${\displaystyle \Delta _{n}.\,}$.

Uma seção do fibrado espinorial ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$ é chamada de corpo de espinores.

Definição formal

Seja ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ uma estrutura espinorial sobre uma variedade Riemanniana ${\displaystyle (M,g),\,}$ isto é, uma elevação equivariante da estrutura de fibrado ortonormal orientada ${\displaystyle \mathrm {F} _{SO}(M)\to M}$ em relação ao duplo recobrimento ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n).\,}$

O fibrado espinorial ${\displaystyle {\mathbf {S} }\,}$ é definido ^[1] como sendo o fibrado vetorial complexo

${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {P} }\times _{\kappa }\Delta _{n}\,}$

associado à estrutura espinorial ${\displaystyle {\mathbf {P} }}$ via a representação espinorial onde ${\displaystyle {\mathrm {U} }({\mathbf {W} })\,}$ denota o grupo de operadores unitários atuando sobre um espaço de Hilbert ${\displaystyle {\mathbf {W} }.\,}$Deve ser observado que a representação espinorial ${\displaystyle \kappa }$ é representação unitária e fiel do grupo ${\displaystyle {\mathrm {Spin} }(n)}$.^[2]

Ver também

• Estrutura de fibrado ortonormal
• Campo espinorial
• Variedade espinorial
• Representação espinorial
• Geometria espinorial
• Fibrado de Clifford
• Fibrado de módulo de Clifford

Referências

Leitura adicional

• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Spin Geometry. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5 
• Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry, ISBN 978-0-8218-2055-1, American Mathematical Society