Fórmula integral de Cauchy

Fórmula integral de Cauchy

Em matemática, a fórmula integral de Cauchy, nomeada em homenagem a Augustin Louis Cauchy, é um teorema central na análise complexa. Ela pode ser expressa pelo fato de que uma função holomorfa, definida sobre e dentro de uma curva simples fechada C, é completamente determinada pelos seus valores na fronteira dessa curva.[1]

O teorema

Seja f : U → C {\displaystyle f:U\to \mathbb {C} } uma função holomorfa definida no conjunto simplesmente conexo U {\displaystyle U} e um contorno simplesmente fechado C em U {\displaystyle U} . Então, temos que para todo z0 no interior de C

f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − z 0 d z {\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{f(z) \over z-z_{0}}\,dz}

onde a integral de contorno é tomada em sentido anti-horário.[1]

A prova dessa equação utiliza o teorema de integral de Cauchy e, assim como o teorema, necessita apenas que f seja analítica. Pode-se, a partir dessa fórmula e dessa exigência, deduzir que

d n f d z n | z = z 0 = n ! 2 π i ∮ C f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z . {\displaystyle \left.{\frac {d^{n}f}{dz^{n}}}\right|_{z=z_{0}}={\frac {n!}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{f(z) \over (z-z_{0})^{n+1}}\,dz.}

denominada integral de Cauchy generalizada.[2][3] A integral de Cauchy em sua versão generalizada afirma que, se uma função é analítica em um ponto, então suas derivadas de todas as ordens existem nesse ponto e, além disso, são analíticas nesse ponto.[2]

A ideia da prova

Para demonstrarmos a fórmula, começamos observando que a função holomorfa F : U − { a } → C {\displaystyle F:U-\{a\}\to \mathbb {C} } definida por F ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 {\displaystyle F(z)={\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}} , por ter derivada nesse ponto, possui uma singularidade removível em z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} , e portanto vale o teorema integral de Cauchy: 0 = ∮ C F ( z ) d z = ∮ C f ( z ) − f ( a ) z − a d z {\displaystyle 0=\oint _{C}F(z)dz=\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}dz} . Portanto, ∮ C f ( z ) z − a d z = ∮ C f ( a ) z − a d z = f ( a ) 2 π i {\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz=\oint _{C}{\frac {f(a)}{z-a}}dz=f(a)2\pi i} , o que implica o teorema.

Funções Não Holomorfas

Para uma função não holomorfa, as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, ou seja:

∂ f ∂ z ∗ ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z^{*}}}\neq 0}

e a fórmula de Cauchy torna-se

f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ ∂ Γ f ( z ) z − z 0 d z − 1 2 π i ∬ Γ ∂ f ∂ z ∗ d z ∧ d z ∗ z − z 0 {\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint \limits _{\partial \Gamma }{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz-{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\iint \limits _{\Gamma }{\frac {\partial f}{\partial z^{*}}}{\frac {dz\wedge dz^{*}}{z-z_{0}}}}

importante notar que a 2-forma ω 2 = 1 2 π i ∂ f ∂ z ∗ d z ∧ d z ∗ z − z 0 {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}{\frac {\partial f}{\partial z^{*}}}{\frac {dz\wedge dz^{*}}{z-z_{0}}}} se anula sempre que f é analítica, e retornamos à Fórmula de Cauchy usual.

Referências

Bibliografia

  • ARFKEN, G. B.; WEBER, H. J. (2005). Mathematical Methods for Physicists 6th ed. Amsterdã: Academic Press. 1118 páginas  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
  • BROWN, James Ward; CHURCHILL, Ruel V. (2003). Complex Variable and Applications 7th ed. Boston: McGrall-Hill. 458 páginas  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)

Ligações externas

  • «Lecture 30: The Cauchy Integral Formula» (PDF). por Dan Sloughter da Universidade de Furman