Fórmula de Leibniz

A fórmula de Leibniz, em referência a Gottfried Wilhelm Leibniz, é uma fórmula usada para encontrar a derivada de uma integral da forma:

∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t )   d t , {\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt,}
em que a ( x ) {\displaystyle a(x)} , b ( x ) {\displaystyle b(x)} e f ( x , t ) {\displaystyle f(x,t)} são funções dependentes de x {\displaystyle x} . Adicionalmente, a ( x ) {\displaystyle a(x)} e b ( x ) {\displaystyle b(x)} devem ser funções deriváveis em x {\displaystyle x} com derivadas contínuas, enquanto f ( x , t ) {\displaystyle f(x,t)} e sua derivada parcial em relação a x {\displaystyle x} também devem ser funções contínuas em x {\displaystyle x} e t {\displaystyle t} .

Nessas condições a fórmula é expressa como:

d d x ( ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t )   d t ) = f ( x , b ( x ) ) ⋅ d d x b ( x ) − f ( x , a ( x ) ) ⋅ d d x a ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ ∂ x f ( x , t )   d t {\displaystyle {d \over dx}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt\right)=f(x,b(x))\cdot {d \over dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot {d \over dx}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\partial \over \partial x}f(x,t)\ dt}
em que na última integral faz-se uso de uma derivada parcial em f ( x , t ) {\textstyle f(x,t)} com respeito a x {\textstyle x} .

Escrevendo o lado direito da fórmula na notação de Lagrange tem-se:

d d x ( ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t )   d t ) = f ( x , b ( x ) ) ⋅ b ′ ( x ) − f ( x , a ( x ) ) ⋅ a ′ ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) f x ( x , t )   d t . {\displaystyle {d \over dx}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\ dt\right)=f(x,b(x))\cdot b'(x)-f(x,a(x))\cdot a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\ dt.}
No caso especial em que a ( x ) {\displaystyle a(x)} e b ( x ) {\displaystyle b(x)} são funções constantes (não dependem de x {\displaystyle x} ), a ( x ) = a {\textstyle a(x)=a} e b ( x ) = b {\textstyle b(x)=b} , obtemos a relação:
d d x ( ∫ a b f ( x , t )   d t ) = ∫ a b ∂ ∂ x f ( x , t )   d t . {\displaystyle {d \over dx}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\ dt\right)=\int _{a}^{b}{\partial \over \partial x}f(x,t)\ dt.}
Outro caso especial é dado quando a ( x ) = a {\textstyle a(x)=a} e b ( x ) = x {\textstyle b(x)=x} , sendo útil na demonstração da fórmula de Cauchy para integrações repetidas utilizando o princípio de indução finita:
d d x ( ∫ a x f ( x , t ) d t ) = f ( x , x ) + ∫ a x ∂ ∂ x f ( x , t ) d t . {\displaystyle {d \over dx}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f(x,x)+\int _{a}^{x}{\partial \over \partial x}f(x,t)dt.}

Exemplos

Exemplo 1

Para computar a integral de Dirichlet ∫ 0 ∞ s e n   x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {sen\ x}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}} , considere a seguinte função

f ( y ) = ∫ 0 ∞ s e n   x x   e − x y d x {\displaystyle f(y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {sen\ x}{x}}\ e^{-xy}dx}

tal que, f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} é o valor procurado e sabe-se que lim y → ∞ f ( y ) = 0. {\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(y)=0.}

f ′ ( y ) = − ∫ 0 ∞ s e n   x   e − x y d x {\displaystyle f'(y)=-\int _{0}^{\infty }sen\ x\ e^{-xy}dx}

integrando por partes duas vezes

∫ s e n   x   e − x y d x = − e − x y ( c o s   x + y   s e n   x ) 1 + y 2 {\displaystyle \int sen\ x\ e^{-xy}dx={\frac {-e^{-xy}(cos\ x+y\ sen\ x)}{1+y^{2}}}}

portanto

f ′ ( y ) = − 1 1 + y 2 {\displaystyle f'(y)=-{\frac {1}{1+y^{2}}}}

integrando de 0 a infinito de ambos os lados

lim y → ∞ f ( y ) − f ( 0 ) = − π 2 {\displaystyle \lim _{y\to \infty }f(y)-f(0)=-{\frac {\pi }{2}}}

f ( 0 ) = π 2 {\displaystyle f(0)={\frac {\pi }{2}}}

Exemplo 2

Para computar a Integral Gaussiana ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} , reescreve a integral

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = ∫ 0 ∞ e − x 2 d x + ∫ − ∞ 0 e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+\int _{-\infty }^{0}e^{-x^{2}}dx} .

Sabendo que, se f {\displaystyle f} for uma função par (prova no final),

∫ 0 a f = ∫ − a 0 f {\displaystyle \int _{0}^{a}f=\int _{-a}^{0}f}

e como e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} é par, a integral Gaussina pode ser escrita como

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx} .

Faça a seguinte notação ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = I {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=I} . Considere a seguinte função

f ( x ) = ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + y 2 ) 1 + y 2 d y {\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}(1+y^{2})}}{1+y^{2}}}dy}

f ′ ( x ) = − 2 x e − x 2 ∫ 0 ∞ e − ( x y ) 2 d y {\displaystyle f'(x)=-2xe^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(xy)^{2}}dy}

fazendo x y = u {\displaystyle xy=u}

f ′ ( x ) = − 2 e − x 2 ∫ 0 ∞ e − ( u ) 2 d u = − 2 e − x 2 I {\displaystyle f'(x)=-2e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-(u)^{2}}du=-2e^{-x^{2}}I}

integrando de 0 a infito de ambos os lados

lim x → ∞ f ( x ) − f ( 0 ) = − 2 I ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)-f(0)=-2I\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx}

− π 2 = − 2 I 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}=-2I^{2}}

2 I = π . {\displaystyle 2I={\sqrt {\pi }}.}

Antes de provar que, para uma f {\displaystyle f} par, ∫ 0 a f = ∫ − a 0 f . {\displaystyle \int _{0}^{a}f=\int _{-a}^{0}f.} Considere a afirmação: Se f {\displaystyle f} for par, então g {\displaystyle g} é ímpar, tal que ∫ f = g {\displaystyle \int f=g} . Prova:

Defina F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt} .

F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t = ∫ 0 x f ( − t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt=\int _{0}^{x}f(-t)dt}

fazendo u = − t {\displaystyle u=-t}

F ( x ) = ∫ 0 − x f ( u ) d u = F ( − x ) . {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{-x}f(u)du=F(-x).}

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