Na análise numérica, o método FTCS(Forward-Time Central-Space) que em português significa progressivo no tempo centrado no espaço, é um método das diferenças finitas usado para resolver numericamente a equação do calor e equações parabólicas em derivadas parciais[1] similares. É um método de primeira ordem no tempo, explícito no tempo e é condicionalmente estável.
O método
No método FTCS, aproximamos a derivada parcial de primeira ordem no tempo
por uma diferença finita progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço
, por uma diferença finita centrada:
![{\displaystyle u_{t}={\frac {\partial u}{\partial t}}(x_{i},t_{n})\approx {\frac {u(x_{i},t_{n}+\Delta t)-u(x_{i},t_{n})}{\Delta t}}={\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851264e9c93b006668fbdfeccdf6feac0afc3d35)
![{\displaystyle u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x_{i},t_{n})\approx {\frac {u(x_{i}-\Delta x,t_{n})-2u(x_{i},t_{n})+u(x_{i}+\Delta x,t_{n})}{\Delta x^{2}}}={\frac {u_{i-1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n}}{\Delta x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35cce3b5d743b11b9e44f9222fa7b05ce9173b9)
podemos então substituir as derivadas de u na equação do calor:
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aec8a435e5ce3588f59f31116e9c92687faee4b)
obtendo assim o método FTCS:
![{\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i-1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694c982e8000b1190fba17988debb7e9659e583b)
ou
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+\alpha {\frac {\Delta t}{\Delta x^{2}}}(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b241049a44633d30faf08e1538a803d5af7d4377)
ou ainda:
![{\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b954eb4a7abeeb912b7b388bb999991c79d53a)
para i e n finitos, onde r é dado por
Estabilidade
O método FTCS, para equações unidimensionais, é estável se e somente se a seguinte condição for satisfeita:
![{\displaystyle r={\frac {\alpha \Delta t}{\Delta x^{2}}}\leq {\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93449b4357e3a088daf1e97535e94895b708a33b)
Consequentemente, ao usarmos o esquema FTCS, nao podemos escolher
e
independentemente. Pior que isso: como a priori precisamos escolher
relativamente pequeno para obter uma boa aproximacão, segue que
será muito pequeno. Precisaremos percorrer muitos passos temporais (muitas iterações do método) para calcular a solução aproximada em qualquer instante de tempo finito.
Referências
- ↑ John C. Tannehill; Dale A. Anderson; Richard H. Pletcher (1997). Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer 2nd ed. [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 156032046X
Resolução de equações diferenciais parciais |
---|
Método das diferenças finitas | |
---|
Método dos volumes finitos | Esquema de Godunov · Esquema de Alta-resolução · Esquema MUSCL · AUSM · Riemann solver |
---|
Método dos elementos finitos | hp-FEM · Método dos elementos finitos estendido · Método de Galerkin Descontínuo · Método dos elementos espectrais · Métodos Meshfree · Métodos Mortar |
---|
Outros métodos | Método espectral · Método pseudo espectral · Método das linhas · Método Multigrid · Método da colocação · Método Level set · Método dos elementos de contorno · Método de Fronteira Imersa · Método de elementos analíticos · Método Particle-in-cell · Análise Isogeométrica |
---|
Métodos de decomposição de domínios | Método de Schur · Método dos domínios fictícios · Método alternante de Schwarz · Método aditivo de Schwarz · Método aditivo abstrato de Schwarz · Método de Neumann–Dirichlet · Métodos Neumann–Neumann · Operador Poincaré–Steklov · Balancing domain decomposition · BDDC · FETI · FETI-DP |
---|
![Ícone de esboço](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/E-to-the-i-pi.svg/34px-E-to-the-i-pi.svg.png) | Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. |