Espaço vetorial simplético

Um espaço vetorial simplético^[1] é um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ sobre um corpo ${\displaystyle F}$ junto com uma forma simplética, isto é, uma função ${\displaystyle \omega \colon V\times V\rightarrow F}$ com as seguintes propriedades:

i) bilinearidade: ${\displaystyle \omega }$ é linear em cada argumento, isto é, para cada ${\displaystyle x\in V}$, ${\displaystyle v\mapsto \omega (v,x)}$ é uma transformação linear de ${\displaystyle V}$ em ${\displaystyle F}$, e analogamente para o segundo argumento.

ii) alternância: para todo ${\displaystyle v\in V}$, ${\displaystyle \omega (v,v)=0}$.

iii) não-degenerescência: se ${\displaystyle v\in V}$ é tal que ${\displaystyle \omega (v,u)=0}$ para todo ${\displaystyle u\in V}$, então ${\displaystyle v=0}$.

Note que, de ii), obtemos ${\displaystyle \omega (u+v,u+v)=0}$ quaisquer que sejam ${\displaystyle u\in V}$ e ${\displaystyle v\in V}$; usando a bilinearidade, temos que ${\displaystyle \omega (u,v)=-\omega (v,u)}$, isto é, toda forma alternada é antissimétrica. A recíproca é verdadeira em corpos de característica diferente de ${\displaystyle 2}$.

Se ${\displaystyle V}$ tem dimensão finita, a escolha de uma base ordenada ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ nos dá uma matriz ${\displaystyle W={\big (}\omega (v_{i},v_{j}){\big )}_{i,j}\in \operatorname {Mat} _{n,n}(F)}$ que é não-singular (pois ${\displaystyle \omega }$ é não-degenerada), antissimétrica e “oca” (hollow) i.e. todas as entradas da diagonal principal são nulas.

Lema. Seja ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} _{n,n}(R)}$ uma matriz quadrada com entradas num anel ${\displaystyle R}$ comutativo com identidade. Se ${\displaystyle n}$ é ímpar e ${\displaystyle A}$ é antissimétrica e oca, então ${\displaystyle \det A=0}$.

Prova. Como ${\displaystyle A}$ é oca, temos ${\displaystyle \textstyle {\det A=\sum _{\sigma \in D}(\operatorname {sgn} \sigma )\,a_{1,\sigma (1)}\ldots a_{n,\sigma (n)}}}$, onde ${\displaystyle D}$ é o conjunto de todas as permutações de ${\displaystyle S_{n}}$ sem pontos fixos. Como ${\displaystyle n}$ é ímpar, não há involuções – elementos ${\displaystyle \tau }$ com ${\displaystyle \tau ^{2}=1}$ – em ${\displaystyle D}$. Em ${\displaystyle D}$, declare ${\displaystyle \tau \equiv \sigma \iff \tau =\sigma ^{\pm 1}}$. Trata-se de uma relação de equivalência. Pela ausência de involuções, cada classe de equivalência tem exatamente dois elementos e é da forma ${\displaystyle \{\sigma ,\sigma ^{-1}\}}$. Logo, se ${\displaystyle D^{\prime }}$ é um conjunto de representantes, então ${\displaystyle D=D^{\prime }\cup {\big (}D^{\prime })^{-1}}$, reunião disjunta. A antissimetria de ${\displaystyle A}$ finaliza a prova.

Como corolário, obtemos que todo espaço simplético de dimensão finita possui dimensão par.

Se ${\displaystyle (V,\omega )}$ e ${\displaystyle (W,\eta )}$ são espaços simpléticos (sobre o mesmo corpo), uma transformação ${\displaystyle t\colon V\rightarrow W}$ será dita simplética (ou um simplectomorfismo) quando for linear e satisfizer ${\displaystyle \eta (t(u),t(v))=\omega (u,v)}$. É imediato que se ${\displaystyle t}$ é simplética, então ${\displaystyle \operatorname {Ker} t=\{0\}}$. Um isomorfismo de ${\displaystyle (V,\omega )}$ em ${\displaystyle (W,\eta )}$ é uma transformação simplética para a qual existe uma inversa também simplética. Não surpreendentemente, no caso dos espaços simpléticos, se uma transformação simplética é invertível, então é um isomorfismo.

Bases simpléticas

Seja ${\displaystyle (V,\omega )}$ um espaço simplético de dimensão finita ${\displaystyle 2n}$. Uma base ordenada ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}}$ é dita simplética quando ${\displaystyle \omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})=0}$, ${\displaystyle \omega (x_{i},y_{j})=\delta _{i,j}}$. Sem supor que um espaço simplético finitamente gerado possui dimensão par, é possível mostrar que há uma base com essas propriedades, provando em particular que a dimensão tem de ser par. Trata-se de um processo análogo ao de Gram-Schmidt.

Considere agora um espaço vetorial ${\displaystyle U}$. Considerando espaço vetorial ${\displaystyle U\oplus U^{\ast }}$, construído a partir dos pares ${\displaystyle (u,t)}$ com ${\displaystyle u\in U,t\in U^{\ast }}$, podemos definir uma forma bilinear alternada ${\displaystyle \omega _{U}}$ por ${\displaystyle \omega {\big (}(u,t),(v,s){\big )}=s(u)-t(v)}$. Vê-se facilmente que ${\displaystyle \omega }$ é não-degenerada. Num espaço simplético ${\displaystyle (V,\eta )}$, um subespaço ${\displaystyle U\leq V}$ que induz um isomorfismo ${\displaystyle h\colon (U\oplus U^{\ast },\omega _{U})\cong (V,\eta )}$ é chamado de subespaço Lagrangiano. Que um isomorfismo desse tipo existe é consequência imediata da existência de uma base simplética.

Orientação

Uma forma bilinear alternada ${\displaystyle \omega \in \textstyle {\bigwedge }^{2}(V)}$ num espaço vetorial real ${\displaystyle V}$ de dimensão ${\displaystyle n}$ é não degenerada se e somente se ${\displaystyle n}$ é par e ${\displaystyle \omega ^{n/2}=\omega \wedge \ldots \wedge \omega }$ é uma forma de volume. Num espaço simplético ${\displaystyle (V,\omega )}$ com base simplética ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{n}}$, ${\displaystyle \omega ={x_{1}}^{\!\ast }\wedge {y_{1}}^{\!\ast }+{x_{2}}^{\!\ast }\wedge {y_{2}}^{\!\ast }+\ldots +{x_{n}}^{\!\ast }\wedge {y_{n}}^{\!\ast }}$. Então

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{n}=&\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})}{x_{i_{1}}}^{\!\ast }\wedge {y_{i_{1}}}^{\!\ast }\wedge {x_{i_{2}}}^{\!\ast }\wedge {y_{i_{2}}}^{\!\ast }\wedge \ldots \wedge {x_{i_{n}}}^{\!\ast }\wedge {y_{i_{n}}}^{\!\ast }\\=&\sum _{\sigma \in S_{n}}{x_{\sigma (1)}}^{\!\ast }\wedge {y_{\sigma (1)}}^{\!\ast }\wedge {x_{\sigma (2)}}^{\!\ast }\wedge {y_{\sigma (2)}}^{\!\ast }\wedge \ldots \wedge {x_{\sigma (n)}}^{\!\ast }\wedge {y_{\sigma (n)}}^{\!\ast }\\=&(n!)\cdot {x_{1}}^{\!\ast }\wedge {y_{1}}^{\!\ast }\wedge {x_{2}}^{\!\ast }\wedge {y_{2}}^{\!\ast }\ldots {x_{n}}^{\!\ast }\wedge {y_{n}}^{\!\ast }\\=&(n!)(-1)^{n(n-1)/2}{x_{1}}^{\!\ast }\wedge {x_{2}}^{\!\ast }\wedge \ldots \wedge {x_{n}}^{\!\ast }\wedge {y_{1}}^{\!\ast }\wedge {y_{2}}^{\!\ast }\wedge \ldots \wedge {y_{n}}^{\!\ast }.\end{aligned}}}$

Logo ${\displaystyle \omega ^{n}}$ orienta ${\displaystyle V}$.

Variedades simpléticas

Seja ${\displaystyle M}$ uma variedade diferenciável. Uma ${\displaystyle 2}$-forma ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$ será dita não degenerada quando o seguinte se verificar: se ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ é um campo de vetores tal que ${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$ para todo campo ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {X}}(M)}$, então ${\displaystyle X=0}$. Isso é equivalente a exigir que ${\displaystyle \omega _{p}\colon T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$ seja não degenerada para todo ${\displaystyle p\in M}$.

Uma variedade simplética é um par ${\displaystyle (M,\omega )}$, com ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$ uma ${\displaystyle 2}$-forma não-degenerada e fechada: ${\displaystyle d\omega =0}$.

O fibrado cotangente

O fibrado cotangente^[2] ${\displaystyle T^{\ast }M}$ de uma variedade ${\displaystyle M}$ tem como fibra fixada em ${\displaystyle p\in M}$ o espaço dual ${\displaystyle ({T_{p}M})^{\ast }}$. A projeção ${\displaystyle T^{\ast }M\rightarrow M}$ será denotada por ${\displaystyle \pi }$. Para um sistema local de coordenadas ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}$ em ${\displaystyle U\subset M}$, as bases ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ para as fibras do fibrado tangente ${\displaystyle TM}$ sobre ${\displaystyle U}$ determinam bases duais para as fibras de ${\displaystyle T^{\ast }M}$ sobre ${\displaystyle U}$, que denotaremos por ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$, de forma que para ${\displaystyle \lambda \in \pi ^{-1}(U)\subset T^{\ast }M}$ temos ${\displaystyle p_{i}(\lambda )=\lambda (\partial /\partial q^{i})}$. Em ${\displaystyle T^{\ast }M}$ temos então o sistema adaptado de coordenadas ${\displaystyle (q^{1}\circ \pi ,\ldots ,q^{n}\circ \pi ,p_{1},\ldots ,p_{n})}$, que será denotado por ${\displaystyle ({\overline {q}}^{1},\ldots ,{\overline {q}}^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})}$.

A 1-forma tautológica

Podemos definir a função ${\displaystyle \theta \colon T^{\ast }M\rightarrow T^{\ast }(T^{\ast }M)}$ por ${\displaystyle \theta _{(p,\lambda )}(X)=\lambda (\pi _{\ast }(X))}$. Trata-se de uma ${\displaystyle 1}$-forma em ${\displaystyle T^{\ast }M}$, chamada de forma tautológica. Num sistema adaptado ${\displaystyle ({\overline {q}}^{1},\ldots ,{\overline {q}}^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})}$, ${\displaystyle \theta }$ se expressa como

${\displaystyle \theta \vert _{\pi ^{-1}(U)}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}d\,{\overline {q}}^{i}}$.

A estrutura simplética canônica do fibrado cotangente

Se fizermos ${\displaystyle \omega =d\theta \in \Omega ^{2}(T^{\ast }M)}$, então ${\displaystyle \omega }$ é uma forma simplética em ${\displaystyle T^{\ast }M}$. Num sistema adaptado, ${\displaystyle \textstyle {\omega =\sum dp_{i}\wedge d\,{\overline {q}}^{i}}}$. Disso é consequência que ${\displaystyle \omega }$ é não degenerada. A variedade simplética ${\displaystyle (T^{\ast }M,\omega )}$ é orientada pela forma ${\displaystyle \omega ^{n}}$, como anteriormente.

A estrutura simplética canônica de um fibrado cotangente motiva o seguinte

Teorema (Darboux). Se ${\displaystyle (M,\eta )}$ é uma variedade simplética, em torno de cada ponto há um sistema simplético de coordenadas, isto é, uma carta local ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})}$ em que ${\displaystyle \eta }$ se expressa como ${\displaystyle \textstyle \eta =\sum dp_{i}\wedge dq^{i}}$.

Uma forma simplética dá, portanto, uma orientação.

Mecânica Hamiltoniana

Suponha que um sistema tenha a variedade diferenciável ${\displaystyle M}$ como espaço de configurações. No fibrado cotangente, com a estrutura simplética canônica, podemos considerar funções hamiltonianas, isto é, funções suaves ${\displaystyle H\colon T^{\ast }M\rightarrow \mathbb {R} }$. A definição de transformação canônica torna-se mais simples: trata-se de um difeomorfismo ${\displaystyle \in \operatorname {Diff} (T^{\ast }M)}$ que preserva, via pullback, a forma simplética canônica.

Por não-degenerescência, a uma função hamiltoniana podemos associar um campo de vetores ${\displaystyle \mathbf {X} _{H}\in {\mathfrak {X}}(T^{\ast }M)}$ da seguinte maneira: ${\displaystyle i_{\mathbf {X} _{H}}(\omega )=-dH}$ (contração). Isso permite definir colchetes de Poisson: se ${\displaystyle f,g\colon T^{\ast }M\to \mathbb {R} }$ são hamiltonianas, ${\displaystyle \{f,g\}\colon T^{\ast }M\to \mathbb {R} }$ é definida por ${\displaystyle \{f,g\}(p)=\omega _{p}(\mathbf {X} _{f}(p),\mathbf {X} _{g}(p))}$. Em coordenadas simpléticas, recuperamos as fórmulas clássicas. Note-se que a definição de Poisson se generaliza para variedades simpléticas quaisquer. Também se generalizam o Teorema dos Toros Invariantes e a existência de cartas locais (ou semi-locais, em vizinhanças de um toro invariante) do tipo ângulo-ação.^[3]

Classificação de ${\displaystyle p}$-grupos finitos extraespeciais

Um ${\displaystyle p}$-grupo (${\displaystyle p}$ primo) finito ${\displaystyle G}$ é dito extraespecial quando ${\displaystyle G^{\prime }=Z(G)}$ e ${\displaystyle \vert G^{\prime }\vert =\vert Z(G)\vert =p}$. Exemplos de grupos extraespeciais^[4] são o grupo diedral de simetrias do quadrado, ${\displaystyle D_{8}\cong \langle a,b\mid a^{4}=1,b^{2}=1,a^{b}=a^{-1}\rangle }$ e o grupo quaterniônico ${\displaystyle Q_{8}\cong \langle a,b\mid a^{4}=1,b^{2}=a^{2},a^{b}=a^{-1}\rangle }$, ambos de ordem ${\displaystyle 8=2^{3}}$. Esses dois grupos não são isomorfos. De fato, podemos definir o homomorfismo ${\displaystyle \beta \colon Q_{8}\to \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$:

${\displaystyle a\mapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt {-1}}&0\\0&-{\sqrt {-1}}\end{pmatrix}},\quad b\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Temos ${\displaystyle \operatorname {Ker} \beta =1}$. Como ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,F)}$ possui uma única involução, a saber ${\displaystyle -I}$, quando ${\displaystyle F}$ é um corpo de característica ${\displaystyle \neq 2}$, obtemos que ${\displaystyle Q_{8}}$ e ${\displaystyle D_{8}}$ não são isomorfos, já que ${\displaystyle D_{8}}$ possui mais de uma involução.

Seja ${\displaystyle G}$ um ${\displaystyle p}$-grupo finito extraespecial com ${\displaystyle C=G^{\prime }=Z(G)}$. O subgrupo ${\displaystyle C}$ é cíclico de ordem ${\displaystyle p}$; fixemos um gerador ${\displaystyle c}$. Se ${\displaystyle x\in G,g\in G}$, então ${\displaystyle [x,g^{p}]=[x,g]^{p}}$ (isso é verdade pois ${\displaystyle G^{\prime }}$ é central; use as fórmulas ${\displaystyle [x,yz]=\ldots }$ etc). Como ${\displaystyle \vert C\vert =p}$ , ${\displaystyle [x,g^{p}]=1}$, donde ${\displaystyle g^{p}\in C}$. Segue que ${\displaystyle V=G/C}$ é um ${\displaystyle p}$-grupo abeliano elementar que pode, portanto, ser visto como um espaço vetorial sobre o corpo ${\displaystyle \operatorname {GF} (p)}$ de ${\displaystyle p}$ elementos. Se ${\displaystyle x\in G,y\in G}$ o comutador ${\displaystyle [x,y]}$ depende apenas das classes ${\displaystyle u={\overline {x}},v={\overline {y}}}$ em ${\displaystyle G/C}$, então faz sentido escrever ${\displaystyle [x,y]=c^{f(u,v)}}$ para ${\displaystyle f\colon V\times V\rightarrow \operatorname {GF} (p)}$ bem-definida. Notando que ${\displaystyle [xx_{1},y]=[x,y][x_{1},y]}$ e ${\displaystyle [x,x]=1}$, temos que ${\displaystyle f}$ é uma forma bilinear alternada. Se ${\displaystyle f(u,v)=0}$ para todo ${\displaystyle v\in V}$, então ${\displaystyle [x,y]=1}$ para todo ${\displaystyle y\in G}$; isso significa que ${\displaystyle u=0}$, logo ${\displaystyle (V,f)}$ é um espaço simplético (de dimensão finita, obviamente). Considere agora uma decomposição simplética ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{n}}$, onde ${\displaystyle V_{i}}$ é bidimensional com base ${\displaystyle \{u_{i},v_{i}\}}$ de tal forma que ${\displaystyle f(u_{i},v_{i})=1,f(u_{i},v_{j})=0}$ se ${\displaystyle i\neq j}$ e ${\displaystyle f(u_{i},u_{j})=f(v_{i},v_{j})=0}$ para quaisquer ${\displaystyle i,j}$. Faça ${\displaystyle u_{i}={\overline {x_{i}}},v_{i}={\overline {y_{i}}}}$. Então ${\displaystyle G_{i}=\langle x_{i},y_{i}\rangle }$ contém ${\displaystyle C}$ pois ${\displaystyle f(u_{i},v_{i})=1}$, e é um grupo não-Abeliano de ordem ${\displaystyle p^{3}}$. Temos agora que ${\displaystyle G=G_{1}G_{2}\ldots G_{n}}$. Ademais, ${\displaystyle G/C=(G_{1}/C)\times \ldots \times (G_{n}/C)}$ e ${\displaystyle [G_{i},G_{j}]=1}$ se ${\displaystyle i\neq j}$. A ordem de ${\displaystyle G}$ é claramente ${\displaystyle p^{2n+1}}$.

Produtos centrais

Um grupo ${\displaystyle G}$ é dito ser o produto central dos subgrupos normais ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{n}}$ quando ${\displaystyle G=G_{1}\ldots G_{n}}$, ${\displaystyle [G_{i},G_{j}]=1}$ para ${\displaystyle i\neq j}$ e ${\displaystyle \textstyle {G_{i}\cap \prod _{j\neq i}G_{j}=Z(G)}}$ para todo ${\displaystyle i}$ (já que ${\displaystyle Z(G_{i})\leq Z(G)}$ temos que ${\displaystyle Z(G_{i})=Z(G)}$). Intuitivamente, os centros estão sendo identificados.

Observação 1. Se ${\displaystyle G}$ é um produto central dos subgrupos normais ${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{n}}$, então ${\displaystyle K=G_{i_{1}}G_{i_{2}}}$ é um produto central dos subgrupos ${\displaystyle G_{i_{1}},G_{i_{2}}\vartriangleleft K}$. Além disso, se ${\displaystyle K}$ é um produto central dos subgrupos ${\displaystyle K_{1},K_{2},\ldots ,K_{\ell }\vartriangleleft K}$, então ${\displaystyle G}$ é um produto central dos ${\displaystyle G_{j}}$ (${\displaystyle j\neq i_{1}}$, ${\displaystyle j\neq i_{2}}$), ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{\ell }}$.

Observação 2. Da mesma forma que um produto semidireto interno dá origem a um produto semidireto externo, é possível construir externamente um produto central de dois grupos ${\displaystyle G,H}$ com centros isomorfos. Dado um isomorfismo ${\displaystyle \theta \colon Z(G)\to Z(H)}$, seja ${\displaystyle N=\{(g^{-1},g^{\theta })\mid g\in Z(G)\}\vartriangleleft G\times H}$. O grupo ${\displaystyle (G\times H)/N}$ é um produto central dos subgrupos ${\displaystyle (G\times 1)N/N\cong G}$ e ${\displaystyle (1\times H)N/N\cong H}$. Reciprocamente, se ${\displaystyle L}$ é um produto central interno dos subgrupos normais ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$, então ${\displaystyle L}$ é isomorfo ao produto central externo de ${\displaystyle G_{1}}$ por ${\displaystyle G_{2}}$ segundo o isomorfismo idêntico ${\displaystyle \mathrm {Id} \colon Z(G_{1})\to Z(G_{2})}$.

Da discussão que precede os três parágrafos anteriores, temos a seguinte

Proposição. Um ${\displaystyle p}$-grupo extraespecial é um produto central de ${\displaystyle n}$ subgrupos não-Abelianos de ordem ${\displaystyle p^{3}}$ cada, tendo pois ordem ${\displaystyle p^{2n+1}}$. Um produto central de grupos não-Abelianos de ordem ${\displaystyle p^{3}}$ é um grupo extraespecial.

Não é difícil classificar grupos não-abelianos de ordem ${\displaystyle p^{3}}$, ${\displaystyle p}$ primo. Se ${\displaystyle p=2}$, ocorrem apenas os exemplos do início desta seção, ${\displaystyle D_{8}}$ e ${\displaystyle Q_{8}}$. Se ${\displaystyle p}$ é ímpar, as classes de isomorfismo dividem-se em duas, de acordo com a maior ordem possível para um elemento (o expoente do grupo): se o expoente for ${\displaystyle p}$, teremos um isomorfismo com ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=1=y^{p},[x,y]^{x}=[x,y]=[x,y]^{y}\rangle }$; se o expoente for ${\displaystyle p^{2}}$ ter-se-á um isomorfismo com ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p^{2}}=1=y^{p},x^{y}=x^{1+p}\rangle }$. Todos os grupos não-Abelianos de ordem ${\displaystyle p^{3}}$ são extraespeciais.

Proposição. Um grupo não-Abeliano de ordem ${\displaystyle p^{3}}$ e expoente ${\displaystyle p^{2}}$, para ${\displaystyle p>2}$, tem a apresentação mencionada.

Prova. Seja ${\displaystyle x\in G}$ de ordem ${\displaystyle p^{2}}$ e tome ${\displaystyle w\in G}$ tal que ${\displaystyle \langle {\overline {x}},{\overline {w}}\rangle =G/Z(G)=G_{\mathrm {ab} }\cong Z_{p}\times Z_{p}}$. Caso ${\displaystyle w}$ tenha ordem ${\displaystyle p^{2}}$, então ${\displaystyle \langle x\rangle \cap \langle w\rangle }$ tem ordem ${\displaystyle p}$; seja ${\displaystyle x^{p}=w^{kp},p\nmid k}$. Temos que ${\displaystyle 1\neq x^{-1}w^{k}}$ tem ordem ${\displaystyle p}$ (aqui usamos a hipótese de que ${\displaystyle p}$ é ímpar junto com a fórmula ${\displaystyle {(gh)}^{n}=g^{n}h^{n}{[h,g]}^{n(n-1)/2}}$, que vale pois ${\displaystyle G^{\prime }}$ é central). Como ${\displaystyle p\nmid k}$ e ${\displaystyle x^{-1}w^{k}}$ tem ordem ${\displaystyle p}$, os subgrupos gerados por ${\displaystyle x,x^{-1}w^{k}}$ intersectam-se trivialmente, donde segue que ${\displaystyle G=\langle x,x^{-1}w^{k}\rangle }$ por comparação de número de elementos. Como ${\displaystyle [x,x^{-1}w^{k}]\neq 1}$ pois ${\displaystyle G}$ é não-Abeliano, segue que ${\displaystyle \langle [x,x^{-1}w^{k}]\rangle =Z(G)=\langle x^{p}\rangle }$, logo ${\displaystyle [x,x^{-1}w^{k}]=x^{rp}}$, ${\displaystyle p\nmid r}$. Então se ${\displaystyle rr^{\ast }\equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,p)}$, ${\displaystyle x^{p}=[x,x^{-1}w^{k}]^{r^{\ast }}=[x,{(x^{-1}w^{k})}^{r^{\ast }}]}$. Fazendo ${\displaystyle y={(x^{-1}w^{k})}^{r^{\ast }}}$, temos finalmente que ${\displaystyle G=\langle x,y\rangle }$ e ${\displaystyle x^{p^{2}}=1=y^{p},x^{y}=x^{1+p}}$, como queríamos. O caso em que ${\displaystyle w}$ já tem ordem ${\displaystyle p}$ é análogo.

Concretamente, o primeiro tipo de isomorfismo é representado pelo grupo de matrizes ${\displaystyle \textstyle {{\Bigl \lbrace }\!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\mathbin {\Big \vert } \,a,b{\text{ e }}c{\text{ em }}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} {\Bigr \rbrace }\leq \operatorname {GL} (3,p)}}$ (se ${\displaystyle p=2}$ esse subgrupo de ${\displaystyle \operatorname {GL} (3,2)}$ é diedral), enquanto o segundo é representado pelo produto semidireto ${\displaystyle A\ltimes Z_{p^{2}}}$, com o grupo cíclico ${\displaystyle Z_{p^{2}}}$ operado canonicamente, por avaliação, pelo grupo ${\displaystyle Z_{p}\cong A=\langle g\mapsto g^{p+1}\rangle \leq \operatorname {Aut} Z_{p^{2}}}$ (note-se que ${\displaystyle {(1+p)}^{p}\equiv 1\!\!\!\!{\pmod {p^{2}}}}$ então esse gerador de ${\displaystyle A}$ tem de fato ordem ${\displaystyle p}$).

Agora seja ${\displaystyle G}$ um grupo extraespecial de ordem ${\displaystyle p^{2n+1}}$. Se ${\displaystyle p=2}$, afirmo que ${\displaystyle G}$ é um produto central de ${\displaystyle n}$ grupos ${\displaystyle D_{8}}$ ou um produto central de ${\displaystyle n-1}$grupos ${\displaystyle D_{8}}$ e apenas um ${\displaystyle Q_{8}}$. Isso porque o produto central ${\displaystyle Q_{8}\circ Q_{8}}$de dois grupos ${\displaystyle Q_{8}}$ é isomorfo ao produto central ${\displaystyle D_{8}\circ D_{8}}$. Usando as apresentações do início da seção, monte apresentações identificando os centros para ${\displaystyle D_{8}\circ D_{8}\cong \langle a,b,c,d\mid \ldots \rangle }$, ${\displaystyle Q_{8}\circ Q_{8}\cong \langle x,y,z,w\mid \ldots \rangle }$ e verifique que ${\displaystyle \theta \colon a\to x,b\to yz,c\to z,d\to wx}$ é um isomorfismo. (Note que a apresentação é obtida fazendo o quociente ${\displaystyle (Q_{8}\times Q_{8})/\langle (x^{2},z^{-2})\rangle }$, como na Observação 2)

Se ${\displaystyle p>2}$, então ou ${\displaystyle G}$ tem expoente ${\displaystyle p}$ ou ${\displaystyle G}$ é um produto central de grupos não abelianos de ordem ${\displaystyle p^{3}}$ e expoente ${\displaystyle p}$ e apenas um grupo não abeliano de ordem ${\displaystyle p^{3}}$ e expoente ${\displaystyle p^{2}}$. De fato, se ${\displaystyle L}$ e ${\displaystyle H}$ são grupos não-Abelianos de ordem ${\displaystyle p^{3}}$ com ${\displaystyle L}$ de expoente ${\displaystyle p^{2}}$ e ${\displaystyle H}$ de expoente ${\displaystyle p}$, temos que os produtos centrais ${\displaystyle L\circ L}$ e ${\displaystyle H\circ L}$ são isomorfos. Um isomorfismo ${\displaystyle H\circ L\to L\circ L}$ é definido por ${\displaystyle \alpha \colon a\to c^{-1}x^{\ell },b\to y,c\to c^{k^{\ast }},d\to yd.}$ É isomorfismo pois é sobrejetivo e ambos os grupos têm ordem ${\displaystyle p^{5}}$, ou note que a associação que se estende à inversa é ${\displaystyle \alpha ^{-1}\colon x\to c^{k\ell ^{\ast }}\!a^{\ell ^{\ast }},y\to b,c\to c^{k},d\to b^{-1}d}$. Aqui, ${\displaystyle \langle a,b\mid \ldots \rangle \cong H}$, ${\displaystyle \langle c,d\mid \ldots \rangle \cong L\cong \langle x,y\mid \ldots \rangle }$; em ${\displaystyle H\circ L}$, ${\displaystyle [a,b]=c^{kp}}$ e em ${\displaystyle L\circ L}$, ${\displaystyle c^{p}=x^{\ell p}}$, ${\displaystyle 0<k<p}$, ${\displaystyle 0<\ell <p}$, ${\displaystyle kk^{\ast }\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,\,p^{2})}$, ${\displaystyle \ell \ell ^{\ast }\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,\,p^{2})}$, além, claro, das relações de centralização e daquelas que caracterizam ${\displaystyle H,L}$ como representantes dos tipos de isomorfismo mencionados há pouco. Agora basta notar que todo elemento de um monoide no alfabeto ${\displaystyle \{H,L\}}$ em que são impostas apenas as relações ${\displaystyle HL=LH}$ de comutatividade e ${\displaystyle LL=HL}$ decorrente do isomorfismo, é da forma ${\displaystyle HH\ldots H}$ ou ${\displaystyle HH\ldots HL}$ (estamos usando implicitamente a Observação 1).

Os argumentos anteriores provam o seguinte

Teorema. Para cada ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ e para cada ${\displaystyle p}$ primo ímpar, existem duas classes de isomorfismo de grupos extraespeciais de ordem ${\displaystyle p^{2n+1}}$, de acordo com o expoente, ${\displaystyle p}$ ou ${\displaystyle p^{2}}$. A classe de expoente ${\displaystyle p}$ é representada por um produto central de ${\displaystyle n}$ grupos isomorfos a ${\displaystyle H}$; a outra, pelo produto central de um grupo isomorfo a ${\displaystyle L}$ e ${\displaystyle n-1}$ grupos isomorfos a ${\displaystyle H}$. É possível exibir apresentações para representantes de cada uma das duas classes.

Um resultado similar, como já vimos, vale para ${\displaystyle p=2}$.

Raciocínio inteiramente análogo mostra que um ${\displaystyle p}$-grupo finito em que o centro é cíclico e o subgrupo derivado tem ordem ${\displaystyle p}$ (grupos chamados de extraespeciais generalizados) possui a seguinte propriedade: ${\displaystyle G^{\prime }\leq Z(G)}$ e ${\displaystyle G/Z(G)}$ é um ${\displaystyle p}$-grupo abeliano elementar de posto par. Esses grupos podem ser expressados como produto central de grupos de dois tipos. Há duas classes de isomorfismo quando fixados ${\displaystyle \vert G\vert }$ e o índice ${\displaystyle [G:Z]}$ do centro. Isso permite exibir apresentações como anteriormente.

Referências