Espaço topológico

Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado topologia.

Definição

Uma topologia em um conjunto ${\displaystyle X}$ é uma coleção ${\displaystyle \tau }$ de partes de ${\displaystyle X,}$ chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:

1. O conjunto vazio e o próprio conjunto X são abertos: ${\displaystyle \varnothing ,X\in \tau ;}$
2. A interseção de dois conjuntos abertos é um aberto: Se ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \tau ,}$ então ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\in \tau ;}$
3. A união de uma família arbitrária (finita ou infinita) de abertos é um aberto: Dada uma família arbitrária ${\displaystyle (A_{\lambda })_{\lambda \in L},}$ com ${\displaystyle A_{\lambda }\in \tau ,\forall \lambda \in L,}$ tem-se ${\displaystyle (\bigcup _{\lambda \in L}A_{\lambda })\in \tau .}$

Um espaço topológico é um par ${\displaystyle (X,\tau )}$ onde ${\displaystyle X}$ é um conjunto e ${\displaystyle \tau }$ é uma topologia em ${\displaystyle X.}$

Exemplos

• Se ${\displaystyle X}$ é um conjunto, a topologia ${\displaystyle \tau =\wp (X),}$ no qual ${\displaystyle \wp (X)}$ é o conjunto das partes de ${\displaystyle X}$ é denominada a topologia discreta sobre ${\displaystyle X.}$
• Se ${\displaystyle X}$ é um conjunto, a topologia ${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,X\}}$ é denominada a topologia grosseira sobre ${\displaystyle X.}$
• Um espaço métrico ${\displaystyle (X,d)}$ tem uma estrutura natural de espaço topológico para ${\displaystyle \tau }$ definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas ${\displaystyle B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)<\delta \}.}$
• Nada impede que, a um conjunto ${\displaystyle X}$, esteja associada mais de uma topologia, por exemplo, ${\displaystyle \tau _{1}}$ e ${\displaystyle \tau _{2}.}$ Quando todo aberto de ${\displaystyle \tau _{1}}$ for um aberto de ${\displaystyle \tau _{2},}$ diz-se que a topologia ${\displaystyle \tau _{1}}$ é mais grossa que ${\displaystyle \tau _{2},}$ ou, analogamente, que ${\displaystyle \tau _{2}}$ é mais fina que ${\displaystyle \tau _{1}.}$ Como o próprio nome indica, a topologia grosseira é mais grossa que qualquer outra, e a topologia discreta é mais fina que qualquer outra.

Fechados

Ver artigo principal: Conjunto fechado

Um subconjunto de um espaço topológico diz-se fechado se o seu complementar for aberto.

Propriedades

• Dada uma família não-vazia de topologias ${\displaystyle \{\tau _{\lambda }\},}$ a sua interseção ${\displaystyle \bigcap _{\lambda }\tau _{\lambda }}$ é uma topologia.
• Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
• Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja, ${\displaystyle S\subset P(X)}$), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta ${\displaystyle \tau =P(X).}$ Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
• Seja ${\displaystyle \tau _{X}}$ uma topologia em X, e ${\displaystyle Y\subset X.}$ Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y, ${\displaystyle \tau _{Y}=\{A\cap Y|A\in \tau _{X}\},.}$ Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão ${\displaystyle i:Y\rightarrow X,i(y)=y}$ é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.

Referências

O Wikilivros tem um livro chamado Topologia

• Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9 
• Lima, Elon Lages (1976). Elementos de topologia geral. [S.l.]: LTC 

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