Divisibilidade

Em aritmética e teoria dos números, diz-se que um número inteiro não nulo ${\displaystyle a}$ divide um inteiro ${\displaystyle b}$, se existe um inteiro ${\displaystyle c}$, tal que ${\displaystyle b=a\cdot c}$. Se ${\displaystyle a}$ divide ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle b}$ é chamado múltiplo de ${\displaystyle a}$, e ${\displaystyle a}$ é chamado divisor de ${\displaystyle b}$. Se ${\displaystyle a}$ divide ${\displaystyle b}$ usa-se o símbolo: ${\displaystyle a|b}$.

Formalmente, escreve-se que: ${\displaystyle a}$ é divisor de ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists {\ c\in \mathbb {Z} };b=ac}$

Propriedades da divisibilidade

• Se ${\displaystyle a}$ é um inteiro diferente de ${\displaystyle 0}$, temos que: ${\displaystyle a}$ divide ${\displaystyle 0}$;

• Se ${\displaystyle a}$ é um inteiro, temos que: ${\displaystyle 1|a}$;

• Se ${\displaystyle a}$ é um inteiro, temos que: ${\displaystyle a|a}$;

• Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;

• Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;
• Se a|b e b|c, temos que: a|c;
• Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;
• Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| > |a| ou |b| = |a|;
• Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;
• Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;
• Se ab|ac então: b|c;
• Se b|c, então: ab|ac;
• Se a|b, então (b/a)|b.

Algoritmo da divisão

Teorema: Dados dois números inteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que:

a = qb + r

Demonstração

Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxianos, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja,

qb ≤ a < (q + 1)b

segue deste teorema que

0 ≤ a - qb < b

definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nos agora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista ${\displaystyle r_{1}}$ e ${\displaystyle q_{1}}$ que satisfaça a = ${\displaystyle q_{1}}$b + ${\displaystyle r_{1},}$ temos

(qb + r) - (${\displaystyle q_{1}}$b + ${\displaystyle r_{1}}$) = 0

(q - ${\displaystyle q_{1}}$)b = (${\displaystyle r_{1}}$ - r)

então

b | (${\displaystyle r_{1}}$ - r) (b divide (${\displaystyle r_{1}}$ - r))

Como ${\displaystyle r_{1}}$ < b e r < b, segue que |${\displaystyle r_{1}}$ - r| < b, concluímos que

${\displaystyle r_{1}}$ - r = 0 ⇒ ${\displaystyle r_{1}}$ = r

e

(q - ${\displaystyle q_{1}}$)b = 0

qb = ${\displaystyle q_{1}b}$ ⇒ q = ${\displaystyle q_{1}}$

Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.

Exemplos

• 34/7 tem quociente 4 e resto 6 → 34 = 4*7 + 6
• 25/3 tem quociente 8 e resto 1 → 25 =3*8 + 1

Bibliografia

• Santos, José Plínio de Oliveira (2007). Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: IMPA. 198 páginas. ISBN 9788524401428 

Ver também

• Máximo divisor comum
• Mínimo múltiplo comum
• Número primo
• Critérios de divisibilidade
• Divisor
• Algoritmo de Euclides
• Indução matemática

• Portal da matemática