Distribuição F de Fisher-Snedecor

Distribuição F de Fisher-Snedecor
Função densidade de probabilidade
Função distribuição acumulada
Parâmetros	${\displaystyle d_{1}}$, ${\displaystyle d_{2}>0}$ graus de liberdade
Suporte	${\displaystyle x\in [0,+\infty )}$
f.d.p.	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
f.d.a.	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
Média	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ para ${\displaystyle d_{2}>2}$
Moda	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ para ${\displaystyle d_{1}>2}$
Variância	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!}$ para ${\displaystyle d_{2}>4}$
Obliquidade	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ para ${\displaystyle d_{2}>6}$
Curtose	Definida no texto.
Entropia	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,{\rm {e}}}}\right)\!~}$
Função Geradora de Momentos	Não existe. Os momentos brutos estão definidos no texto.
Função Característica	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}})}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath t\right)}$ onde ${\displaystyle U(a,b,z)}$ é a função hipergeométrica confluente do segundo tipo

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição F de Fisher-Snedecor, também conhecida como distribuição F, distribuição F de Fisher e distribuição F de Snedecor, em homenagem ao biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher e ao matemático norte-americano George Waddel Snedecor,^[1] é uma distribuição de probabilidade contínua que surge frequentemente como a distribuição nula da estatística de um teste, mais notadamente na análise de variância, como no teste F.^[2][3][4][5]

Definição

Se uma variável aleatória ${\displaystyle X}$ tiver uma distribuição F com parâmetros ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$, escrevemos ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$. Então, a função densidade de probabilidade de ${\displaystyle X}$ é dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}}$

para ${\displaystyle x}$ real e maior que zero. Aqui, ${\displaystyle \mathrm {B} }$ é uma função beta. Em muitas aplicações, os parâmetros ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ são números inteiros positivos, mas a distribuição é bem definida para valores reais positivos destes parâmetros.

A função distribuição acumulada é

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

em que ${\displaystyle I}$ é a função beta incompleta regularizada.

O valor esperado, a variância e outros detalhes sobre ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ são dados na caixa ao lado. Para ${\displaystyle d_{2}>8}$, a curtose de excesso é

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$.

O ${\displaystyle k}$-ésimo momento de uma distribuição ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ existe e é finita somente quando ${\displaystyle 2k<d_{2}}$ e é igual a^[6]

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}}$

A distribuição F é uma parametrização particular da distribuição beta prima, também chamada de distribuição beta de segundo tipo.

A função característica é^[7]

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}})}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

em que ${\displaystyle U(a,b,z)}$ é a função hipergeométrica confluente do segundo tipo.

Caracterização

O valor observado de uma variável aleatória de distribuição F com parâmetros ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ surge como a razão de dois valores observados de distribuição qui-quadrado apropriadamente escalados:^[8]

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

em que

• ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ têm distribuições qui-quadrado com graus de liberdade ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ respectivamente e
• ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ são independentes.

Em instâncias em que a distribuição F é usada, por exemplo, na análise de variância, a independência de ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ pode ser demonstrada pela aplicação do teorema de Cochran.

Equivalentemente, a variável aleatória da distribuição F também pode ser escrita como

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\;/\;{\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}}$

em que ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ e ${\displaystyle s_{2}^{2}}$ são as somas dos quadrados ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ e ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ de dois processos normais com variâncias ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$ divididas pelo número correspondente de ${\displaystyle \chi ^{2}}$ graus de liberdades. ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ são respectivamente ${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$ e ${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$.

Em um contexto frequencista, uma distribuição F escalada dá portanto a probabilidade ${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}|\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$, ela própria com distribuição F, sem qualquer escala, o que se aplica onde ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ é igual ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$. Este é o contexto em que a distribuição F aparece de forma mais generalizada em testes F: em que a hipótese nula é de que duas variâncias normais independentes são iguais e as somas observadas de alguns quadrados apropriadamente selecionados são então examinadas a fim de verificar se sua razão é significantemente incompatível com esta hipótese nula.

A quantidade ${\displaystyle X}$ tem a mesma distribuição na estatística bayesiana, se um método de Jeffreys não informativo, de rescalamento invariante for tomado para as probabilidades a priori de ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ e ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$.^[9] Neste contexto, uma distribuição F escalada dá assim a probabilidade a posteriori ${\displaystyle p(\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}|s_{1}^{2}/s_{2}^{2})}$, em que as somas agora observadas ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ e ${\displaystyle s_{2}^{2}}$ são tomadas como conhecidas.

De forma geral, resumida e simplificada, a distribuição F tem como características básicas:

• É uma família de curvas, cada uma, determinada por dois tipos de graus de liberdade, os correspondentes à variância no numerador, e os que correspondem à variância no denominador.
• É uma distribuição positivamente assimétrica.
• A área total sob cada curva de uma distribuição F é igual a 1.
• Todos os valores de X são maiores ou iguais a 0.
• Para todas as distribuições F, o valor médio de X é aproximadamente igual a 1.^[10]

Equação diferencial

A função densidade de probabilidade da distribuição F é uma solução da seguinte equação diferencial:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}2x\left(d_{1}x+d_{2}\right)f'(x)+\left(2d_{1}x+d_{2}d_{1}x-d_{2}d_{1}+2d_{2}\right)f(x)=0,\\[12pt]f(1)={\frac {d_{1}^{\frac {d_{1}}{2}}d_{2}^{\frac {d_{2}}{2}}\left(d_{1}+d_{2}\right){}^{{\frac {1}{2}}\left(-d_{1}-d_{2}\right)}}{B\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\end{array}}\right\}}$

Propriedades e distribuições relacionadas

• Se ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ e ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ forem independentes, então ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$;
• Se ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ forem independentes, então ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$;
• Se ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$(distribuição beta), então ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$;
• Equivalentemente, se ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, então ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$;
• Se ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, então ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ tem a distribuição qui-quadrado ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$;
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ é equivalente a distribuição T-quadrado de Hotelling escalada ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$;
• Se ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, então ${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$;
• Se ${\displaystyle X\sim t(n)}$ (distribuição t de Student), então:

${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (1,n)}$

${\displaystyle X^{-2}\sim \operatorname {F} (n,1)}$

• A distribuição F é um caso especial de distribuição de Pearson de tipo 6;
• Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ forem independentes com ${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Laplace} (\mu ,b)}$, então:

${\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$;

• Se ${\displaystyle X\sim F(n,m)}$, então ${\displaystyle {\frac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ (distribuição z de Fisher);
• A distribuição F não central simplifica à distribuição F se ${\displaystyle \lambda =0}$;
• A distribuição F não central dupla simplifica à distribuição F se ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$;
• Se ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ for o quantil ${\displaystyle p}$ para ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ e ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ for o quantil ${\displaystyle 1-p}$ para ${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$, então

${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}}$.

Ver também

• Distribuição gama
• Qui-quadrado
• Teste de Chow

Referências

Ligações externas

• Tabela de valores críticos da distribuição F (em inglês)
• Calculadora gratuita para teste F (em inglês)