Corpo ordenado

Em matemática, um corpo ordenado é um corpo no qual existe uma relação de ordem total, e em que as operações binárias do corpo são compatíveis com essa relação de ordem.^[1]

Definição

${\displaystyle (K,+,\times ,\leq )\,}$ é um corpo ordenado se:^[1]

• ${\displaystyle (K,+,\times )\,}$ é um corpo
• ${\displaystyle \leq \,}$ é uma relação de ordem total em K
• ${\displaystyle \forall a,b,c,\ (a\leq b\rightarrow a+c\leq b+c)\,}$
• ${\displaystyle \forall a,b\ (0\leq a\land 0\leq b\rightarrow 0\leq a\ b)\,}$

Destes axiomas pode-se deduzir que, se ${\displaystyle a\leq b\land c\leq d\,}$, então ${\displaystyle a+c\leq b+c}$ e ${\displaystyle c+b\leq d+b\,}$, portanto (pelos axiomas da adição e pela transitividade da relação de ordem) ${\displaystyle a+c\leq b+d\,}$.^[1]

Então, temos que o subconjunto ${\displaystyle K^{+}=\{x\in K|0\leq x\}\,}$ é fechado para as operações de soma e produto.^[1]

Definição alternativa

Uma outra forma de definir um corpo ordenado parte do subconjunto dos números positivos. Temos então:^[1]

• Seja K um corpo, e ${\displaystyle K^{+}\,}$ um subconjunto de K (chamado de conjunto dos números positivos) satisfazendo as seguintes propriedades:
  • Para cada elemento x de K, exatamente uma das três condições seguintes é valida: ${\displaystyle x=0\lor x\in K^{+}\lor (-x)\in K^{+})\,}$
  • ${\displaystyle K^{+}\,}$ é fechado para as operações de soma e produto, ou seja, ${\displaystyle \forall x,y\in K^{+},(x+y\in K^{+}\land xy\in K^{+})\,}$
• Então a relação ${\displaystyle x<y\,\iff y-x\in K^{+}\,}$ faz com que K se torne um corpo ordenado.

Propriedades

• O quadrado de qualquer elemento não nulo é positivo. A prova é simples: seja x = a². Então temos que a = 0, a é positivo, ou -a é positivo. a não pode ser zero, porque a² não é zero. Se a for positivo, então a . a = x é positivo. Se a é negativo, então -a é positivo, e x = (-a) . (-a) é positivo.^[1]
• Um corolário é que 1 é positivo.^[1]
• Outro corolário é que o corpo tem característica zero. Por indução, prova-se que n . 1 (definido intuitivamente como 1 + 1 + ... + 1 (n vezes)) é positivo, mas p . 1 = 0 em corpos de característica p (p primo).^[1]
• Todo subcorpo também é um corpo ordenado, com a mesma relação de ordem.^[1]
• A soma de um número qualquer de quadrados em um corpo ordenado é diferente de -1. Esta propriedade é óbvia, mas o interessante é que uma forma de recíproca é verdadeira: se um corpo tem a propriedade de que nenhuma soma de quadrados é igual a -1 (ou seja, é um corpo formalmente real), então este corpo admite uma relação de ordem (não necessariamente única) que o torna um corpo ordenado. A demonstração desta propriedade é feita pelo Lema de Zorn.^[2] Este teorema foi demonstrado por Artin e Schreier.^[1]
• Obviamente, se C for uma extensão de um corpo ordenado K e que contém um elemento i tal que i² = -1, então C não é um corpo ordenado. Ou seja, nenhum corpo algebricamente fechado é ordenado. Porém se C é um corpo algebricamente fechado que é uma extensão própria finita de um corpo K, então para ${\displaystyle i\in C\,}$ temos que C = K(i) e K pode ser dotado de uma ordem para torná-lo um corpo ordenado. Este teorema foi demostrado por Artin.^[1]

Exemplos

• ${\displaystyle \mathbb {Q} \,}$, o corpo dos números racionais e ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, o corpo dos números reais ^{[carece de fontes?]}
• O corpo das funções racionais pode ser dotado de uma relação de ordem que o torna um corpo ordenado. Esta relação é definida ao fazer a função racional f(x) = x ser infinitamente grande, ou seja, x > 1, x > 2, etc. Este corpo ordenado é não-arquimediano. A função racional g(x) = 1/x é um infinitésimo.^[3]
• O corpo de Levi-Civita, formado por expressões da forma ${\displaystyle x=x_{q_{1}}\epsilon ^{q_{1}}+x_{q_{2}}\epsilon ^{q_{2}}+x_{q_{3}}\epsilon ^{q_{3}}+\ldots \,}$ em que q_j são números racionais crescentes e x_q são números reais.^{[Nota 1]} Este corpo é não-arquimediano, Cauchy completo e real fechado, e é a menor ^{[Nota 2]} extensão dos reais que tem estas três propriedades.^[4]

Valor absoluto

Em um corpo ordenado, é possível definir uma função valor absoluto, que associa a cada elemento um elemento positivo ou zero, ou seja:

• |a| = a, se a ≥ 0 ou -a, se a <0

O valor absoluto tem as seguintes propriedades:

1. |a| = max(a, -a)
2. |a| = |-a|
3. |a b| = |a| |b|
4. |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
5. |a - b| ≥ | |a| - |b| |
6. Se r > 0, então |a - b| < r se, e somente se, a - r < b < a + r ^[5]

Notas e referências

Notas

Referências

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