Cancelamento indevido

${\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}$

Cancelamento indevido em cálculo

Um cancelamento indevido ou cancelamento acidental é um tipo particular de erro processual aritmético que fornece uma resposta numericamente correta. É feita uma tentativa de reduzir uma fração cancelando algarismos individuais no numerador e no denominador.^[1] Esta não é uma operação legítima e, em geral, não fornece uma resposta correta, mas em alguns casos raros o resultado é numericamente o mesmo como se um procedimento correto tivesse sido aplicado. Os casos triviais de cancelamento de zeros à direita ou onde todos os algarismos são iguais são ignorados.

Exemplos de cancelamentos indevidos que ainda produzem o resultado correto incluem (esses e seus inversos são todos os casos na base 10 com a fração diferente de 1 e com dois algarismos):

O artigo por Boas analisa casos em bases diferentes da base 10, por exemplo, 3213 = 21 e seu inverso são as únicas soluções na base quatro com dois algarismos.^[2]

O cancelamento indevido pode ocorrer com mais algarismos, como, por exemplo, 165462 = 1542, e até mesmo com diferentes quantidades de algarismos (98392 = 832).

Propriedades elementares

Quando a base é um número primo, não há nenhuma solução com dois algarismos. Isso pode ser provado por absurdo: suponha que haja uma solução. Sem perda de generalidade, podemos dizer que essa solução é

${\displaystyle {\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}},\ {\rm {base}}\ p,}$

em que a dupla barra vertical indica concatenação dos algarismos. Deste modo temos

${\displaystyle {\frac {ap+b}{cp+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cp=b(a-c).}$

Mas ${\displaystyle p>a,b,a-c}$, como eles são algarismos na base ${\displaystyle p}$; além disso, ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle b(a-c)}$, como ${\displaystyle p}$ é primo e ${\displaystyle p>b}$, então ${\displaystyle p|(a-c)}$, logo ${\displaystyle a=c}$. Portanto ${\displaystyle b(a-c)=0}$, o que implica que ${\displaystyle (a-b)cp=0}$, ou seja, ${\displaystyle a=b}$, o que é um absurdo pelas definições do problema. (se ${\displaystyle a=b}$, então o cálculo se torna ${\displaystyle {\frac {a||a}{c||a}}={\frac {a}{c}}\implies {\frac {a||a}{a||a}}={\frac {a}{a}}=1}$, que é um dos casos triviais excluídos.)

Outra propriedade é que o número de soluções na base ${\displaystyle n}$ é ímpar se e somente se ${\displaystyle n}$ é o quadrado de um número par. Isso pode ser provado de forma similar à anterior: suponha que tenhamos a solução

${\displaystyle {\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}.}$

Então, fazendo a mesma manipulação, nós temos

${\displaystyle {\frac {an+b}{cn+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cn=b(a-c)}$

Suponha que ${\displaystyle a>b,c}$. Note que ${\displaystyle a,b,c\to a,a-c,a-b}$ também é solução para a equação. Isso quase configura uma involução do conjunto de soluções para si mesmo. Mas podemos também substituir para obter ${\displaystyle (a-b)(a-b)n=b(a-(a-b))\implies (a-b)^{2}n=b^{2}}$, que só tem soluções se ${\displaystyle n}$ é quadrado. Seja ${\displaystyle n=k^{2}}$. Tirando a raiz quadrado temos ${\displaystyle (a-b)k=b\implies ak=(k+1)b}$. Já que o máximo divisor comum de ${\displaystyle k,(k+1)}$ é um, sabemos que ${\displaystyle a=(k+1)x,b=kx}$. Sabendo que ${\displaystyle a,b<k^{2}}$, então as soluções são ${\displaystyle x=1,2,3,\ldots ,k-1}$, isto é, tem um número impar de soluções quando ${\displaystyle n=k^{2}}$ é um quadrado par. A recíproca da afirmação pode ser provada notando que todas essas soluções satisfazem a requisição inicial.

Ver também

• Falácia matemática

Referências