Álgebra de Kac-Moody

 Nota: Para a álgebra de Kac-Moody generalizada, veja Álgebra de Lie.

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v d e

A álgebra de Kac-Moody, nomeada em honra de Victor Kac e Robert Moody, (também conhecida como álgebra de Kac-Moody Lie) é definida da seguinte forma.

Dado,

1) Uma n×n matriz generalizada de Cartan C = (c_ij) de classificação r.

2) Um vetor de espaço ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ sobre os números complexos de dimensão 2n − r

3) Um conjunto de n elementos linearmente independentes ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }\ }$ de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$e um conjunto de n elementos linearmente independentes ${\displaystyle \alpha _{i}}$ do espaço dual ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$, de tal modo que ${\displaystyle \alpha _{i}(\alpha _{j}^{\vee })=c_{ji}}$. Os ${\displaystyle \alpha _{i}}$ são analógicos para as raízes simples^[1] de uma semi-simples álgebra de Lie, e os ${\displaystyle \alpha _{i}^{\vee }}$ para as co-raízes simples.

A álgebra de Kac-Moody é a álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ definida por geradores ${\displaystyle e_{i}}$ e ${\displaystyle f_{i}}$ (${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$) e os elementos de ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$e as relações.

• ${\displaystyle [h,h']=0\ }$ para ${\displaystyle h,h'\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle [h,e_{i}]=\alpha _{i}(h)e_{i}}$, para ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle [h,f_{i}]=-\alpha _{i}(h)f_{i}}$, para ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$;
• ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }}$, onde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ é o delta de Kronecker
• ${\displaystyle {\textrm {ad}}(e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0}$ e ${\displaystyle {\textrm {ad}}(f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0}$, onde ${\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\textrm {End}}({\mathfrak {g}}),{\textrm {ad}}(x)(y)=[x,y],}$ é a representação adjunta^[2] de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

A álgebra de Lie real (possivelmente de dimensão infinita) é também considerada uma álgebra de Kac-Moody, se a sua complexificação é uma álgebra de Kac-Moody^{[3][4] [5]}.

Referências

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