Zbieżność monotoniczna

Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.

Ciągi liczbowe

Ciąg liczb rzeczywistych ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest monotonicznie zbieżny do liczby a , {\displaystyle a,} jeśli ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby a . {\displaystyle a.}

Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.

Ciągi funkcyjne

Niech X {\displaystyle X} będzie dowolnym zbiorem oraz f n , f : X ⟶ R . {\displaystyle f_{n},f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} .}

Ciąg ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest zbieżny monotonicznie do funkcji f , {\displaystyle f,} jeśli

  1. ( ∀ n ∈ N ) ( ∀ x ∈ X ) ( f n ( x ) ⩽ f n + 1 ( x ) ) {\displaystyle {}\quad (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x){\big )}} lub ( ∀ n ∈ N ) ( ∀ x ∈ X ) ( f n ( x ) ⩾ f n + 1 ( x ) ) {\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\geqslant f_{n+1}(x){\big )}} oraz
  2. ( f n ) n ∈ N {\displaystyle {}\quad (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest zbieżny punktowo do funkcji f , {\displaystyle f,} tzn. dla każdego x ∈ X {\displaystyle x\in X} mamy, że f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) . {\displaystyle f(x)=\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x).}

Warunek (1) zapewnia, że ciąg ( f n ( x ) ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }} jest niemalejący dla dowolnego x ∈ X {\displaystyle x\in X} albo też ciąg jest nierosnący dla dowolnego x ∈ X . {\displaystyle x\in X.} Jest to więc mocniejszy warunek niż stwierdzenie, że ciąg ( f n ( x ) ) n ∈ N {\displaystyle {\big (}f_{n}(x){\big )}_{n\in \mathbb {N} }} jest monotoniczny dla każdego x ∈ X {\displaystyle x\in X} .

Przykładowe użycie

  • Twierdzenie Diniego: jeśli f n , f : [ 0 , 1 ] ⟶ R {\displaystyle f_{n},f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} } są ciągłe, ciąg ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest zbieżny monotonicznie do funkcji f , {\displaystyle f,} to ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} zbiega jednostajnie do f . {\displaystyle f.}
  • Twierdzenie Lebesgue’a: jeśli f n : [ 0 , 1 ] ⟶ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,\infty )} są całkowalne w sensie Lebesgue’a i ciąg ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest zbieżny monotonicznie do funkcji f , {\displaystyle f,} to f {\displaystyle f} jest mierzalna oraz ∫ [ 0 , 1 ] f = lim n → ∞ ∫ [ 0 , 1 ] f n . {\displaystyle {}\int \limits _{[0,1]}f=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{[0,1]}f_{n}.}

Zobacz też