Wzór trapezów

Wzór trapezów – jeden z wzorów służących do przybliżonego obliczania całek oznaczonych w sensie Riemanna. Idea wzoru opiera się na geometrycznej interpretacji całki oznaczonej z funkcji nieujemnej jako pola pod wykresem funkcji.

Jeżeli przedział całkowania [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} podzielony zostanie punktami x 1 , x 2 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}} na n {\displaystyle n} równych części o długościach ( b − a ) / n , {\displaystyle (b-a)/n,} i w figurę ograniczoną na prostymi x = a , {\displaystyle x=a,} x = b , {\displaystyle x=b,} osią odciętych oraz wykresem funkcji y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} wpiszemy trapezy jak pokazano na rysunku poniżej,

to pola kolejnych trapezów wynoszą:

b − a n ⋅ f ( x 0 ) + f ( x 1 ) 2 ,   b − a n ⋅ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 ,   … , b − a n ⋅ f ( x n − 1 ) + f ( x n ) 2 , {\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{0})+f(x_{1})}{2}},\ {\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}},\ \dots ,{\frac {b-a}{n}}\cdot {\frac {f(x_{n-1})+f(x_{n})}{2}},}

gdzie dla jednolitości oznaczono a = x 0 {\displaystyle a=x_{0}} i b = x n . {\displaystyle b=x_{n}.}

Suma pól trapezów jest w przybliżeniu równa polu całego obszaru, czyli:

∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 2 n ( f ( x 0 ) + f ( x n ) + 2 f ( x 1 ) + … + 2 f ( x n − 1 ) ) . {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{{2}{n}}}\left(f(x_{0})+f(x_{n})+2f(x_{1})+\ldots +2f(x_{n-1})\right).}

Ten właśnie wzór nazywany jest wzorem trapezów.

W przypadku funkcji ciągłej na przedziale [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],} wzór trapezów pozwala obliczać jej całkę oznaczoną na tym przedziale z dowolną dokładnością, wystarczy w tym celu wziąć za n {\displaystyle n} odpowiednio dużą liczbę. Błąd przybliżenia daje się oszacować w przypadku funkcji, która ma na przedziale [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ciągłą drugą pochodną:

| R n | ⩽ | ( b − a ) 3 12 n 2 K | , {\displaystyle |R_{n}|\leqslant \left|{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}K\right|,}

gdzie K {\displaystyle K} oznacza największą wartość funkcji | f ″ ( x ) | {\displaystyle |f''(x)|} w przedziale [ a , b ] . {\displaystyle [a,b].}

Obecnie wzór trapezów ma znaczenie wyłącznie historyczne – dostępne programy do całkowania numerycznego stosują dokładniejsze metody[potrzebny przypis], a użycie komputera pozwala ograniczyć czasochłonne ręczne rachunki.

Zobacz też

Encyklopedia internetowa (całkowanie numeryczne):
  • DSDE: trapezformlen