Wielomiany Bernsteina

Reprezentacja podstawy wielomianów stopnia Bernsteina 2

Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji f : [ 0 , 1 ] → R , {\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,} wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

E n ( f ) ( t ) = ∑ i = 0 n f ( i n ) B i n ( t ) , {\displaystyle E_{n}(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(t),}

gdzie B i n ( t ) {\displaystyle B_{i}^{n}(t)} to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

B i n ( t ) = { ( n i ) t i ( 1 − t ) n − i dla   i = 0 … n 0 dla   i < 0 ,   i > n {\displaystyle B_{i}^{n}(t)={\begin{cases}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}&{\mbox{dla}}\ i=0\ldots n\\0&{\mbox{dla}}\ i<0,\ i>n\end{cases}}}

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni (w publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).

Własności wielomianów bazowych Bernsteina

Zależność rekurencyjna

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

B i n ( t ) = ( 1 − t ) B i n − 1 ( t ) + t B i − 1 n − 1 ( t ) {\displaystyle B_{i}^{n}(t)=(1-t)B_{i}^{n-1}(t)+tB_{i-1}^{n-1}(t)}

Rozkład jedynki

∑ i = 0 n B i n ( t ) = 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)=1}

Dodatniość

B i n ( t ) ⩾ 0 {\displaystyle B_{i}^{n}(t)\geqslant 0} dla t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]}

Symetria

B i n ( t ) = B n − i n ( 1 − t ) {\displaystyle B_{i}^{n}(t)=B_{n-i}^{n}(1-t)}

Iloczyn

B i n ( t ) B j m ( t ) {\displaystyle B_{i}^{n}(t)B_{j}^{m}(t)} = ( n i ) ( m j ) ( n + m i + j ) B i + j n + m ( t ) {\displaystyle ={\frac {{n \choose i}{m \choose j}}{{n+m} \choose {i+j}}}B_{i+j}^{n+m}(t)}

Pochodna

d d t B i n ( t ) = n ( B i − 1 n − 1 ( t ) − B i n − 1 ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}B_{i}^{n}(t)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_{i}^{n-1}(t)\right)}

Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia

B i n ( t ) = n + 1 − i n + 1 B i n + 1 ( t ) + i + 1 n + 1 B i + 1 n + 1 ( t ) {\displaystyle B_{i}^{n}(t)={\frac {n+1-i}{n+1}}B_{i}^{n+1}(t)+{\frac {i+1}{n+1}}B_{i+1}^{n+1}(t)}

Aproksymacja jednostajna

Niech f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} } będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina ⟨ E n ( f ) : n = 0 , 1 , 2 , … ⟩ {\displaystyle \langle E_{n}(f):n=0,1,2,\dots \rangle } jest jednostajnie zbieżny do funkcji f . {\displaystyle f.}

Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych

Wielomiany te dane są wzorem:

B i j k n ( r , s , t ) = { n ! i ! j ! k ! r i s j t k dla   i , j , k ⩾ 0   oraz   i + j + k = n 0 w przeciwnym razie {\displaystyle B_{ijk}^{n}(r,s,t)={\begin{cases}{\frac {n!}{i!j!k!}}r^{i}s^{j}t^{k}&{\mbox{dla}}\ i,j,k\geqslant 0\ {\mbox{oraz}}\ i+j+k=n\\0&{\mbox{w przeciwnym razie}}\end{cases}}}

i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.

Własność

B i j k n ( a r , a s , a t ) = a n B i j k n ( r , s , t ) {\displaystyle B_{ijk}^{n}(ar,as,at)=a^{n}B_{ijk}^{n}(r,s,t)}

Zobacz też