Warunek Lindeberga

Wikipedia:Weryfikowalność
 Ten artykuł należy dopracować:
od 2016-07 → zweryfikować treść i dodać przypisy,
→ poprawić styl – powinien być encyklopedyczny.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Definicja

Powiemy, że schemat serii ( X n , k n ) {\displaystyle (X_{n,k_{n}})} spełnia warunek Lindeberga, jeśli dla każdego ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} zachodzi L n ( ϵ ) = 1 s n 2 ∑ k = 1 k n E ( ( X n , k − E X n , k ) 2 1 { | X n , k − E X n , k | > ϵ s n } ) → n → ∞ 0 , {\displaystyle L_{n}(\epsilon )={\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{k_{n}}E((X_{n,k}-EX_{n,k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{n,k}-EX_{n,k}|>\epsilon s_{n}\}}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,} gdzie s n 2 = ∑ k = 1 k n D 2 X n , k . {\displaystyle s_{n}^{2}=\sum _{k=1}^{k_{n}}D^{2}X_{n,k}.}

Konsekwencje

Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, to ( max 1 ⩽ k ⩽ k n σ n , k ) → n → ∞ 0 , {\displaystyle (\max _{1\leqslant k\leqslant k_{n}}\sigma _{n,k}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,} gdzie σ n , k = D 2 X n , k s n 2 . {\displaystyle \sigma _{n,k}={\sqrt {\frac {D^{2}X_{n,k}}{s_{n}^{2}}}}.}

Dowód

Dowodzimy przez zaprzeczenie. Załóżmy, że ∃ δ 0 > 0 {\displaystyle \exists \delta _{0}>0} taka, że lim sup n → ∞ ( max 1 ⩽ k ⩽ k n σ n , k ) = δ 0 . {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }(\max _{1\leqslant k\leqslant k_{n}}\sigma _{n,k})=\delta _{0}.}

Wówczas istnieje ciąg ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} liczb naturalnych spełniający:

Dla δ = δ 0 2 > 0 ∀ n ∈ N ∃ k : ( σ a n , k ⩾ δ ⟺ D 2 X a n , k s a n 2 ⩾ δ ⟺ D 2 X a n , k ⩾ δ 2 s a n 2 ) . {\displaystyle \delta ={\frac {\delta _{0}}{2}}>0\;\forall n\in \mathbf {N} \;\exists k\;:{\Bigg (}\sigma _{a_{n},k}\geqslant \delta \iff {\sqrt {\frac {D^{2}X_{a_{n},k}}{s_{a_{n}}^{2}}}}\geqslant \delta \iff D^{2}X_{a_{n},k}\geqslant \delta ^{2}s_{a_{n}}^{2}{\Bigg )}.}

Ostatnią nierówność możemy zapisać jako:

D 2 X a n , k = E ( X a n , k − E X a n , k ) 2 = E ( X a n , k − E X a n , k ) 2 1 { | X a n , k − E X a n , k | > ϵ s a n } + E ( X a n , k − E X a n , k ) 2 1 { | X a n , k − E X a n , k | ⩽ ϵ s a n } ⩾ δ 2 s a n 2 {\displaystyle D^{2}X_{a_{n},k}=E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}=E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|>\epsilon s_{a_{n}}\}}+E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|\leqslant \epsilon s_{a_{n}}\}}\geqslant \delta ^{2}s_{a_{n}}^{2}} dla każdego ϵ > 0. {\displaystyle \epsilon >0.}

Teraz z ostatniej nierówności otrzymujemy:

E ( X a n , k − E X a n , k ) 2 1 { | X a n , k − E X a n , k | > ϵ s a n } ⩾ δ 2 s a n 2 − E ( X a n , k − E X a n , k ) 2 1 { | X a n , k − E X a n , k | ⩽ ϵ s a n } ⩾ δ 2 s a n 2 − ϵ 2 s a n 2 . {\displaystyle E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|>\epsilon s_{a_{n}}\}}\geqslant \delta ^{2}s_{a_{n}}^{2}-E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|\leqslant \epsilon s_{a_{n}}\}}\geqslant \delta ^{2}s_{a_{n}}^{2}-\epsilon ^{2}s_{a_{n}}^{2}.}

Zatem:

L a n ( ϵ ) ⩾ 1 s a n 2 E ( X a n , k − E X a n , k ) 2 1 { | X a n , k − E X a n , k | > ϵ s a n } ⩾ δ 2 − ϵ 2 . {\displaystyle L_{a_{n}}(\epsilon )\geqslant {\frac {1}{s_{a_{n}}^{2}}}E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|>\epsilon s_{a_{n}}\}}\geqslant \delta ^{2}-\epsilon ^{2}.} Ale dla ϵ < δ {\displaystyle \epsilon <\delta } ostatnia wartość jest zawsze dodatnia, niezależnie od n, co przeczy warunkowi Lindeberga.