Wartość skuteczna

Wartość skuteczna, RMS (od ang. root mean square, średnia kwadratowa) – statystyczna miara sygnału okresowo zmiennego (najczęściej dotyczy wielkości elektrycznych prądu i napięcia).

Wartość skuteczna prądu przemiennego jest taką wartością prądu stałego, która w ciągu czasu równemu okresowi prądu przemiennego spowoduje ten sam efekt cieplny, co dany sygnał prądu przemiennego (zmiennego).

Moc prądu stałego o wartości I {\displaystyle I} wydzielana na oporniku o rezystancji R : {\displaystyle R{:}}

(1) P = I 2 R . {\displaystyle P=I^{2}R.}

Tym samym energia wydzielona w ciągu okresu przez prąd stały:

(2) E = P T = I 2 R T {\displaystyle E=PT=I^{2}RT}

przy czym T {\displaystyle T} jest długością okresu.

Moc chwilowa prądu przemiennego wynosi:

(3) p = u i = i 2 R = I 2 ( t ) R . {\displaystyle p=ui=i^{2}R=I^{2}(t)R.}

Energia w ciągu okresu T : {\displaystyle T{:}}

(4) E = ∫ t 0 t 0 + T i 2 ( t ) R d t . {\displaystyle E=\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}R\;dt.}

Szukana jest taka wartość prądu stałego, która wydzieliłaby tę samą energię, co prąd przemienny. Tym samym prawe strony równań (2) i (4) powinny być równe:

(5) I 2 R T = ∫ t 0 t 0 + T i 2 ( t ) R d t . {\displaystyle I^{2}RT=\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}Rdt.}

Przekształcając to równanie, dochodzi się do poszukiwanej wartości prądu stałego:

(6) I = 1 T ∫ t 0 t 0 + T i 2 ( t ) d t . {\displaystyle I={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+T}{i^{2}(t)}dt}}.}

Długość przedziału całkowania T {\displaystyle T} powinna być równa okresowi sygnału lub być jego całkowitą wielokrotnością.

Analogicznie dochodzi się do wartości skutecznej napięcia. Wartość skuteczna U S {\displaystyle U_{S}} sygnału u ( t ) {\displaystyle u(t)} jest to średnia kwadratowa wartość tego sygnału.

Dla sygnału sinusoidalnego o wartości maksymalnej I m a x {\displaystyle I_{max}} zachodzi zależność:

(7) I = I m a x 2 . {\displaystyle I={\frac {I_{max}}{\sqrt {2}}}.}

Dla innych sygnałów (np. zniekształconych) ta zależność nie musi być spełniona.

Cyfrowe mierniki elektryczne podają zwykle wartość skuteczną sygnału (nie maksymalną). W prostszych rozwiązaniach jest ona wyliczana z zależności (7), a poprawny wynik otrzymywany jest jedynie dla przebiegów sinusoidalnych. Mierniki wyższej klasy pozwalają na pomiar wartości skutecznej przebiegów odkształconych, a obliczają ją z zależności (6). Mierniki takie są zwykle opisane jako „true RMS”, co oznacza, że mierzą rzeczywistą („prawdziwą”) wartość skuteczną, jednak są dużo droższe.

Relacja wartości skutecznej sygnału do jego średniej arytmetycznej u ¯ {\displaystyle {\bar {u}}} i odchylenia standardowego σ u {\displaystyle \sigma _{u}} jest następująca:

u S 2 = u ¯ 2 + σ u 2 . {\displaystyle u_{\mathrm {S} }^{2}={\bar {u}}^{2}+\sigma _{u}^{2}.}

Zobacz też