Własność Schura

Własność Schura – w analizie funkcjonalnej, przestrzeń Banacha X ma własność Schura, gdy każdy ciąg elementów przestrzeni X zbieżny w słabej topologii (słabo) jest zbieżny w topologii normy (mocno). Nazwa własności pochodzi od Issai Schura, który opublikował w 1921 dowód twierdzenia mówiącego, że przestrzeń ℓ1 ma tę własność[1] (zob. dowód).

Własności

  • Każda przestrzeń o własności Schura jest słabo ciągowo zupełna. Istotnie, niech ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} będzie słabym ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Banacha X, która ma własność Schura. Dla każdych dwóch ściśle rosnących ciągów liczb naturalnych ( n k ) k = 1 ∞ , ( m k ) k = 1 ∞ {\displaystyle (n_{k})_{k=1}^{\infty },(m_{k})_{k=1}^{\infty }} ciąg
( x n k − x m k ) k = 1 ∞ {\displaystyle (x_{n_{k}}-x_{m_{k}})_{k=1}^{\infty }}
jest słabo zbieżny do 0. Własność Schura implikuje, że
lim k → ∞ ‖ x n k − x m k ‖ = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|x_{n_{k}}-x_{m_{k}}\|=0.}
Oznacza to, że ciąg ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Banacha X, a więc jest on zbieżny[2].
  • Każda domknięta i nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń liniowa przestrzeni o własności Schura ma również własność Schura oraz zawiera izomorficzną kopię przestrzeni ℓ1[3].
  • Niech X będzie przestrzenią Banacha o własności własność Dunforda-Pettisa, która nie zawiera izomorficznych kopii przestrzeni ℓ1. Wówczas przestrzeń sprzężona X* ma własność Schura[4].

Związek z przestrzenią ℓ1

Prototypicznym przykładem przestrzeni mającej własność Schura jest przestrzeń ℓ1. Każda domknięta podrzestrzeń przestrzeni ℓ1 ma własność Schura, jednak nie każda (ośrodkowa) przestrzeń o własności Schura zanurza się izomorficznie w ℓ1. Stosowny przykład podprzestrzeni przestrzeni przestrzeni L1 o własności Schura, która nie zanurza się w ℓ1 podali Jean Bourgain oraz Haskell Rosenthal[5]. Bourgain podał przykład przestrzeni Banacha, której każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń zawiera izomorficzną kopię przestrzeni ℓ1, która mimo to nie ma własności Schura[6] (inne przykłady pochodzą od Azimiego i Haglera[7] oraz Popowa[8].

Przypisy

  1. ↑ I. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151 (1920), 79-111.
  2. ↑ Albiac i Kalton 2006 ↓, s. 38.
  3. ↑ Morrison 2001 ↓, s. 259.
  4. ↑ Lin 2004 ↓, s. 60.
  5. ↑ J. Bourgain, H. P. Rosenthal, Martingales valued in certain subspaces of L1, Isr. J. Math. 37 (1-2) (1980), 54–75.
  6. ↑ J. Bourgain, ℓ1-subspaces of Banach spaces. Lecture notes. Free University of Brussels.
  7. ↑ P. Azimi, J. N. Hagler, Examples of hereditarily ℓ1 Banach spaces failing the Schur property, Pacif. J. Math. 122 (2)(1986), 287–297.
  8. ↑ M. M. Popov, A hereditary ℓ1-subspace of L1 without the Schur property, Proc. Amer. Math. Soc. 133, 7 (2005), 2023–2028.

Bibliografia

  • F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
  • Pei-Kee Lin: Köthe-Bochner Function Spaces. Birkhäuser Basel, 2004. ISBN 978-0-8176-3521-3.
  • Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.