Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)

Twierdzenie Leibniza albo Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki zwane często regułą Leibniza – twierdzenie mówiące o różniczkowaniu funkcji danej jako całka z parametrem.

Reguła Leibniza

Wersja I – analiza klasyczna

Niech ${\displaystyle f(x,y)}$ będzie funkcją ${\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\ni (x,y)\mapsto \mathbb {R} }$ załóżmy, że ${\displaystyle f}$ jest funkcją ciągła oraz że ma ona ciągłą pochodną cząstkową ${\displaystyle f'_{y}={\frac {\partial f}{\partial y}}}$ na całej swojej dziedzinie.

Dla ${\displaystyle y\in (c,d)}$ określmy ${\displaystyle I(y)=\int \limits _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x.}$ Wówczas funkcja ${\displaystyle I(y)}$ jest różniczkowalna oraz dla każdego ${\displaystyle y\in (c,d)}$ spełniony jest wzór:

${\displaystyle I'(y)=\int \limits _{a}^{b}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x.}$

Ogólniej, zakładając że dla każdego ${\displaystyle y}$ funkcja jest ciągła na przedziale ${\displaystyle [a(x),b(x)],}$ gdzie funkcje ${\displaystyle a,b}$ są ciągle różniczkowalne, mamy:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int \limits _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)\mathrm {d} x=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y).}$

Wersja II – teoria miary

Niech ${\displaystyle X}$ będzie otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ oraz ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )}$ będzie przestrzenią mierzalną. Załóżmy, że ${\displaystyle f\colon X\times \Omega \mapsto \mathbb {R} }$ spełnia poniższe warunki:

(1) ${\displaystyle f(x,\omega )}$ jest dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ funkcją całkowalną względem ${\displaystyle \omega .}$

(2) Dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ pochodna ${\displaystyle f_{x}}$ istnieje ${\displaystyle \mu }$-p.w.

(3) Istnieje całkowalna funkcja ${\displaystyle \theta \colon \Omega \mapsto \mathbb {R} }$ dla której ${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leqslant \theta (\omega )\quad \forall x\in X.}$

Wtedy dla każdego ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{\Omega }\,f(x,\omega )\mu \{\mathrm {d} \omega \}=\int _{\Omega }\,f_{x}(x,\omega )\mu \{\mathrm {d} \omega \}.}$

Dowód

Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji I dany jest przez

${\displaystyle {\frac {I(y+h)-I(y)}{h}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x,y+h)\,dx-\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx}{h}}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx,}$

(pamiętajmy, że całka jest operatorem liniowym). Teraz,

${\displaystyle I'(y)=\lim _{h\to 0}{\frac {I(y+h)-I(y)}{h}}=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx.}$

W związku z powyższym pozostaje kwestia, czy możemy przejść z granicą pod całkę.

Wersja I

Zauważmy, że funkcja określona jest na zbiorze domkniętym i ograniczonym, co w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest jednoznaczne ze zwartością zbioru. Z założenia istnienia pochodnej cząstkowej dla każdego ciągu ${\displaystyle (a_{n})\to 0}$ zachodzi zbieżność punktowa ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}}$ dla każdego punktu. Na mocy zwartości dziedziny funkcji mamy zatem zbieżność jednostajną, co pozwala nam napisać:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}\,dx=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }{\frac {f(x,y+a_{n})-f(x,y)}{a_{n}}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\,dx.}$

Co na mocy dowolności ciągu ${\displaystyle (a_{n})}$ oraz definicji Heinego granicy funkcji daje tezę podstawową. Weźmy teraz ${\displaystyle a(y),b(y)}$ ciągle różniczkowalne.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{h}&={\frac {1}{h}}\left(\int _{a(y+h)}^{b(y+h)}\,f(x,y+h)dx-\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)dx\right)\\&={\frac {1}{h}}\left(\int _{b(y)}^{b(y+h)}\,f(x,y+h)dx+\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y+h)dx+\int _{a(y+h)}^{a(y)}\,f(x,y+h)dx-\int _{a(y)}^{b(y)}\,f(x,y)dx\right)\\&=\int _{a(y)}^{b(y)}\,{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx+{\frac {1}{h}}\left([b(y+h)-b(y)]f(\xi _{1}^{h},y+h)-[a(y+h)-a(y)]f(\xi _{2}^{h},y+h)\right),\end{aligned}}}$

gdzie ostatnia równość zachodzi na mocy twierdzenia o wartości pośredniej dla całki z funkcji ciągłej ${\displaystyle \xi _{1}^{h}\in [b(y),b(y+h)]\;\xi _{2}^{h}\in [a(y),a(y+h)].}$ Zatem biorąc granicę, i korzystając z podstawowej wersji twierdzenia mamy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}I_{h}&=\lim _{h\to 0}\int _{a(y)}^{b(y)}\,{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}dx+f(b(y),y)\lim _{h\to 0}{\frac {b(y+h)-b(y)}{h}}-f(a(y),y)\lim _{h\to 0}{\frac {[a(y+h)-a(y)}{h}}\\&=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f'_{y}(x,y)\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y).\end{aligned}}}$

Przy czym z ciągłości f mamy ${\displaystyle \xi _{1}^{h}\to b(x)\;\xi _{2}^{h}\to a(x).}$

Wersja II

Korzystając z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dla dowolnego ciągu dążącego do zera, oraz stosując definicję Heinego granicy funkcji jak powyżej otrzymujemy:

${\displaystyle I'(y)=\int _{a}^{b}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\,dx.}$

Zobacz też

• podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
• twierdzenie Fubiniego

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.brak strony w książce