Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:

Każde ciągłe odwzorowanie sympleksu^[a] ${\displaystyle s}$ w siebie ma punkt stały.

Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego wymiaru (a więc niepusty).

n-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy zbiór wypukły w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1},}$ zawierający ${\displaystyle n+1}$ punktów leżących na dodatnich półosiach współrzędnych, w odległości 1 od początku układu współrzędnych (inaczej: otoczkę wypukłą punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich ${\displaystyle n+1}$ osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy odwzorowaniach afinicznych. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych, np. dla kuli ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}.}$ Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.

Twierdzenie Brouwera pochodzi z 1910 roku i pojawiło się jako wynik rozważań Brouwera o piątym problemie Hilberta^[1]. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ale szybko rozszerzył również w wyższe wymiary. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez łotewskiego matematyka Piersa Bohla w 1904 roku oraz francuskiego matematyka Henri Poincarégo w 1886 roku^[2][3].

Twierdzenie Brouwera wynika z twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym oraz jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia Schaudera o punkcie stałym.

Zastosowania

• Jeżeli ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n+1}}$ jest kulą jednostkową w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1},}$ to jej powierzchnia (homeomorficzna ze sferą ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$) nie jest jej retraktem. Istotnie, gdyby istniała retrakcja ${\displaystyle r:\mathbb {D} ^{n+1}\to \mathbb {S} ^{n},}$ to odwzorowanie ${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n+1}\to \mathbb {D} ^{n+1}}$ takie, że ${\displaystyle f(x)=-r(x)}$ nie miałoby punktów stałych wbrew twierdzeniu Brouwera. Jeśli ${\displaystyle x\in \mathbb {S} ^{n},}$ to ${\displaystyle x=r(x),}$ a więc ${\displaystyle x\neq f(x).}$ Zaś gdy ${\displaystyle x\in \mathbb {D} ^{n+1}\setminus \mathbb {S} ^{n},}$ to ${\displaystyle x\neq f(x)}$ bo ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {S} ^{n}}$^[4].
• Żadna sfera ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ nie jest ściągalna. Istotnie, każdy różny od 0 punkt kuli ${\displaystyle \mathbb {D} ^{n+1}}$ można jednoznacznie przedstawić w postaci ${\displaystyle tx}$ dla pewnych ${\displaystyle x\in \mathbb {S} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle t\in (0,1].}$ Gdyby istniała homotopia ${\displaystyle h_{t}:\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n}}$ od identyczności ${\displaystyle {\mathcal {i}}=h_{0}}$ do odwzorowania stałego, to przekształcenie ${\displaystyle r:\mathbb {D} ^{n+1}\to \mathbb {D} ^{n+1},tx\mapsto h_{1-t}(x)}$ byłoby retrakcją kuli na jej powierzchnię^[4].

Zobacz też

• twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym
• twierdzenie Schaudera o punkcie stałym

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Brouwer theorem (ang.) Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink
• JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Elementarnie o twierdzeniu Brouwera, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, lipiec 2020, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-08-26]  (pol.).