Twierdzenia o izomorfizmie

Twierdzenie o izomorfizmie – twierdzenie matematyczne, szeroko stosowane w algebrze uniwersalnej, mówiące o istnieniu pewnych naturalnych izomorfizmów.

Twierdzenia o izomorfizmie zostały sformułowane w pewnej ogólności dla homomorfizmów modułów przez Emmy Noether w jej dziele Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern („Abstrakcyjne konstrukcje teorii ideałów w algebraicznych ciałach liczbowych i funkcyjnych”) opublikowanej w 1927 roku w Mathematische Annalen. Mniej ogólne wersje tych twierdzeń można znaleźć w pracach Richarda Dedekinda i wcześniejszych pracach Noether.

Trzy lata później Bartel Leendert van der Waerden wydał swoją doniosłą Algebrę, pierwszy podręcznik algebry abstrakcyjnej, który wykorzystywał (teraz tradycyjne) podejście do przedmiotu: grupy-pierścienie-ciała. Van der Waerden wskazał jako swoje główne źródła wykłady z teorii grup u Noether i algebry u Emila Artina oraz seminarium prowadzone przez Artina, Wilhelma Blaschke, Ottona Shreiera i samego van der Waerdena dotyczące ideałów. Pojawiają się w nim trzy twierdzenia o izomorfizmie nazywane twierdzeniem o homomorfizmie oraz, w odniesieniu do grup, dwoma prawami izomorfizmów.

Grupy

Poniższe twierdzenia o izomorfizmie dla grup przyjmują prostszą postać niż ich ogólne odpowiedniki i wyrażają ważne własności grup ilorazowych; we wszystkich trzech „dzielnikiem” jest podgrupa normalna („dzielnik normalny”).

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle G,\ H}$ są grupami, a

${\displaystyle f\colon G\to H}$

jest homomorfizmem, to

• jądro ${\displaystyle K}$ homomorfizmu ${\displaystyle f}$ jest podgrupą normalną ${\displaystyle G,}$
• obraz ${\displaystyle f}$ jest podgrupą ${\displaystyle H,}$ a
• grupa ilorazowa ${\displaystyle G/K,}$ nazywana czasem koobrazem, jest izomorficzna z obrazem ${\displaystyle f.}$

Jeżeli ciąg rozszczepia się, to ${\displaystyle G}$ jest w rzeczywistości iloczynem półprostym. W kategorii abelowej lemat o rozszczepianiu uściśla ten fakt do rozkładu ${\displaystyle G}$ na sumę prostą.

Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie)

Niech

${\displaystyle H,K}$ będą podgrupami ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle H}$ będzie podgrupą normalną ${\displaystyle G.}$

Wówczas

Iloczyn ${\displaystyle HK}$ grup ${\displaystyle H}$ oraz ${\displaystyle K}$ jest podgrupą w ${\displaystyle G,}$

${\displaystyle H\cap K}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle K,}$ a

${\displaystyle HK/H}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle K/(H\cap K).}$

Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie)

Jeżeli

${\displaystyle M,N}$ są podgrupami normalnymi w ${\displaystyle G}$ takimi, że ${\displaystyle M}$ zawiera się w ${\displaystyle N,}$

to

${\displaystyle M}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle N,}$

${\displaystyle N/M}$ jest podgrupą normalną w ${\displaystyle G/M,}$

${\displaystyle (G/M)/(N/M)}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle G/N.}$

Wynik ten uogólnia się przez lemat dziewiątkowy na kategorie abelowe i bardziej ogólne odwzorowania między obiektami.

Pierścienie i moduły

Twierdzenia o izomorfizmie są prawdziwe także dla pierścieni, homomorfizmów pierścieni i ideałów. W tym przypadku należy zamienić pojęcia „grupa” na „pierścień”, „podgrupa” na „podpierścień” i „podgrupa normalna” na „ideał”, a „grupa ilorazowa” na „pierścień ilorazowy”.

Twierdzenia o izomorfizmie obowiązują również dla modułów nad ustalonym pierścieniem ${\displaystyle R.}$ W sformułowania należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „${\displaystyle R}$-moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „podmoduł”, a „grupa ilorazowa” na „moduł ilorazowy”.

Tym samym twierdzenia zachodzą i dla przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem: wystarczy użyć odpowiednio kolejnych pojęć „przestrzeń liniowa”, „podprzestrzeń liniowa” oraz „przestrzeń ilorazowa” w miejsce wymienionych wyżej struktur modularnych. Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie jest lepiej znane w tym kontekście jako twierdzenia o rzędzie.

We wspomnianych przypadkach używana jest notacja addytywna supremum to „${\displaystyle H+K}$”, nie zaś „${\displaystyle HK}$”.

Algebry

Aby uogólnić ten wynik na algebrę uniwersalną, podgrupy normalne muszą być zastąpione kongruencjami.

Krótko, jeżeli ${\displaystyle A}$ jest algebrą uniwersalną, to kongruencją na ${\displaystyle A}$ jest relacja równoważności ${\displaystyle \Phi }$ określona na ${\displaystyle A,}$ która jest podalgebrą, gdy jest ona rozpatrywana jako podzbiór ${\displaystyle A\times A}$ (z działaniami określonymi po współrzędnych). Zbiór klas równoważności ${\displaystyle A/\Phi }$ może być przekształcony w algebrę tego samego typu poprzez zdefiniowanie działań na reprezentantach; będą one dobrze określone, ponieważ ${\displaystyle \Phi }$ jest podalgebrą ${\displaystyle A\times A.}$

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle A,B}$ są algebrami, a ${\displaystyle f}$ homomorfizmem z ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle B,}$ to relacja równoważności ${\displaystyle \Phi }$ określona na ${\displaystyle A}$ wzorem

${\displaystyle a\sim b\iff f(a)=f(b)}$ jest kongruencją na ${\displaystyle A,}$ zaś algebra ${\displaystyle A/\Phi }$ jest izomorficzna z obrazem ${\displaystyle f,}$ czyli podalgebrą w ${\displaystyle B.}$

Drugie twierdzenie

Dla danej algebry ${\displaystyle A}$ i jej podalgebry ${\displaystyle B}$ oraz kongruencji określonej na ${\displaystyle A,}$ niech ${\displaystyle [B]\Phi }$ będzie podzbiorem ${\displaystyle A/\Phi }$ wyznaczanym przez wszystkie klasy kongruencji zawierające element z ${\displaystyle B.}$ Symbol ${\displaystyle \Phi _{B}}$ będzie oznaczał przecięcie ${\displaystyle \Phi }$ (rozpatrywane jako podzbiór ${\displaystyle A\times A}$) z ${\displaystyle B\times B.}$ Wówczas ${\displaystyle [B]\Phi }$ jest podalgebrą ${\displaystyle A/\Phi ,}$ a ${\displaystyle \Phi _{B}}$ jest kongruencją na ${\displaystyle B}$ i wreszcie algebra ${\displaystyle [B]\Phi }$ jest izomorficzna z algebrą ${\displaystyle B/\Phi _{B}.}$

Trzecie twierdzenie

Niech ${\displaystyle A}$ będzie algebrą, a ${\displaystyle \Phi }$ oraz ${\displaystyle \Psi }$ będą dwoma relacjami kongruencji określonymi na ${\displaystyle A,}$ gdzie ${\displaystyle \Psi }$ zawiera się w ${\displaystyle \Phi .}$ Wówczas ${\displaystyle \Phi }$ wyznacza kongruencję ${\displaystyle \Theta }$ na ${\displaystyle A/\Psi }$ określoną wzorem

${\displaystyle [a]_{\Psi }\sim [b]_{\Psi }\iff a\sim _{\Phi }b,}$ a ${\displaystyle A/\Phi }$ jest izomorficzna z ${\displaystyle (A/\Psi )/\Theta .}$

Zobacz też

• lemat Zassenhausa (czasami nazywany czwartym twierdzeniem o izomorfizmie)

Bibliografia

• Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927), s. 26-61.
• Colin McLarty (pod redakcją Jeremy’ego Graya i José Ferreirósa), The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy – Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors, Oxford University Press (2006), s. 211–35.

Linki zewnętrzne

• Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).
• Drugie twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).
• Trzecie twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).