Tożsamość czterech kwadratów Eulera

Tożsamość czterech kwadratów Eulera – tożsamość algebraiczna zachodząca dla dowolnych ośmiu liczb rzeczywistych, z której wynika, że iloczyn dwóch sum czterech kwadratów również jest sumą kwadratów. Dokładniej:

( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 ) = ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 ) 2 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) 2 + ( a 1 b 3 − a 2 b 4 + a 3 b 1 + a 4 b 2 ) 2 + ( a 1 b 4 + a 2 b 3 − a 3 b 2 + a 4 b 1 ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\\=\;&(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}\\+\;&(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\+\;&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\+\;&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}.\end{aligned}}}

Tożsamość podał Leonhard Euler w 1748 w liście do Christiana Goldbacha[1][2]. Odgrywa ona kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Lagrange’a o rozkładach liczb naturalnych.

Jeśli a k {\displaystyle a_{k}} i b k {\displaystyle b_{k}} są liczbami rzeczywistymi, tożsamość wyraża się w inny sposób: moduł iloczynu dwóch kwaternionów równy jest iloczynowi ich modułów[3]; podobną równość dla liczb zespolonych ustala tożsamość Brahmagupty.

Tożsamość jest prawdziwa dla a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , b 1 , b 2 , b 3 , b 4 {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}} z dowolnego pierścienia przemiennego, gdyż może być udowodniona przy użyciu elementarnej algebry (poprzez rozpisanie nawiasów i zamianę kolejności czynników w iloczynach).

Dla liczb rzeczywistych można ją wywnioskować z następującej tożsamości dla liczb zespolonych (gdyż kwadrat modułu to suma kwadratów części rzeczywistej i urojonej):

( | u 1 | 2 + | u 2 | 2 ) ( | v 1 | 2 + | v 2 | 2 ) = | u 1 v 1 − u 2 v 2 ¯ | 2 + | u 1 v 2 + u 2 v 1 ¯ | 2 , {\displaystyle (|u_{1}|^{2}+|u_{2}|^{2})(|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2})=|u_{1}v_{1}-u_{2}{\overline {v_{2}}}|^{2}+|u_{1}v_{2}+u_{2}{\overline {v_{1}}}|^{2},}

której dowód polega na zastosowaniu tożsamości | z | 2 = z z ¯ {\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}} do wszystkich wyrazów po lewej, zaś tożsamości | u + v | 2 = | u | 2 + | v | 2 + 2 R e ( u v ¯ ) {\displaystyle |u+v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}+2Re(u{\overline {v}})} do wyrazów po prawej.

Przypisy

Bibliografia

  • John Conway, Richard Guy: The book of Numbers. Springer, 1996. ISBN 0-387-97993-X. (ang.).
  • Robert E. Bradley, Ed Sandifer: Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Elsevier, 2007. (ang.).
  • Abe Shenitzer, John Stillwell: Mathematical Evolutions. Math. Assoc. America, 2002.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Euler Four-Square Identity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
  • List CXV Eulera do Goldbacha