Test Andersona-Darlinga

Test Andersona-Darlinga – jeden z testów statystycznych zgodności rozkładu z zadanym rozkładem wzorcowym. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z rozkładem normalnym. Jest modyfikacją testu Craméra-von Misesa dokonaną w celu poprawy jego czułości w „ogonach” testowanego rozkładu.

Statystyka Andersona-Darlinga

${\displaystyle A^{2}=n\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {(F_{n}(x)-F(x))^{2}}{F(x)(1-F(x))}}dF(x),}$

gdzie:

${\displaystyle F_{n}(x)}$ – dystrybuanta empiryczna,

${\displaystyle F(x)}$ – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,

${\displaystyle n}$ – liczność próby.

Jest to zatem wersja testu Craméra-von Misesa ważona czynnikiem ${\displaystyle {\tfrac {1}{F(x)(1-F(x))}}.}$

Zwykle do obliczeń używany jest prostszy wzór:

${\displaystyle A^{2}=-n-{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left((2i-1)\ln F(X_{(i)})+(2n+1-2i)\ln(1-F(X_{(i)}))\right)}$

lub (inna wersja):

${\displaystyle A^{2}=-n-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2i-1}{n}}\left[\ln F(X_{(i)})+\ln \left(1-F(X_{(n+1-i)})\right)\right],}$

gdzie:

${\displaystyle X_{(i)}}$ – ${\displaystyle i}$-ta zaobserwowana wartość w próbie uporządkowanej rosnąco,

${\displaystyle F(x)}$ – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,

${\displaystyle n}$ – liczność próby.

Dla rozkładu normalnego stosuje się czasem poprawkę na wielkość próby:

${\displaystyle A^{2\star }=A^{2}\left(1+{\frac {0{,}75}{n}}+{\frac {2{,}25}{n^{2}}}\right).}$

Dla rozkładu normalnego, gdy ${\displaystyle A^{2\star }}$ przekracza 0,752, to hipoteza o normalności rozkładu w populacji jest odrzucana na poziomie 5%. Dla innych rozkładów test także może być stosowany, ale ma inne wartości krytyczne.

Zobacz też

• test Craméra-von Misesa
• test Kołmogorowa-Smirnowa
• test Shapiro-Wilka

Bibliografia

• Pomoc do programu SAS 9.1 autorstwa SAS Institute Inc.