Srebrny podział

Srebrny podział – stała matematyczna, której nazwa nawiązuje do złotego podziału. Podobnie jak ilorazy dwóch kolejnych liczb Fibonacciego zbiegają do odwrotności złotej liczby (tzn. do ${\displaystyle 1/\varphi }$), tak odwrotność srebrnej liczby jest granicą ilorazów dwóch kolejnych liczb Pella. Dwa odcinki będące w srebrnym podziale mają się więc do siebie tak, jak bok jednostkowego kwadratu do jego przekątnej^[1][2].

Definicja

Srebrny podział ${\displaystyle (\delta _{S})}$ definiuje się jako liczbę niewymierną, będącą sumą liczby 1 i pierwiastka kwadratowego z 2, czyli:

${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}41421\ 35623\ 73095\ 04880\ 16887\ 24210}$

Z definicji wynika, że:

${\displaystyle (\delta _{S}-1)^{2}=2.}$

Srebrny podział może być również zdefiniowany jako prosty ułamek łańcuchowy [2; 2, 2, 2,...]^[1][2]:

${\displaystyle \delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}$

Potęgi liczby srebrnej da się wyrazić tak:

${\displaystyle \delta _{S}^{n}=P(n)\delta _{S}+P(n-1)}$ dla n>0, gdzie P(n) to n-ta liczba Pella, analogicznie do podobnej równości dla liczby phi wykorzystującej liczby Fibonacciego^[2].

Wyprowadzenie

Dzielone części oznaczmy jako, a i b; z definicji s. podziału zachodzi: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {2a+b}{a}}=\delta _{S},}$ co można skrócić do ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=2+{\frac {b}{a}}=\delta _{S},}$ więc ${\displaystyle \delta _{S}=2+{\frac {1}{\delta _{S}}}.}$ Jest to równanie kwadratowe, ma dodatni pierwiastek równy ${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}}$ (dla sposobu rozwiązania vide: równanie kwadratowe).

Właściwości trygonometryczne

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Srebrny podział ma związek z kątem ${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$.

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=1+{\sqrt {2}}}$

Wykorzystanie

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Srebrny podział jest stosowany w architekturze – w Polsce według badania O. Vogta i in. wystąpił w 76% analizowanych budynków w Krakowie^[3].

Przypisy