Przestrzeń refleksywna

Ten artykuł dotyczy analizy funkcjonalnej. Zobacz też: przestrzeń refleksywna w algebrze liniowej.

Przestrzeń refleksywna – przestrzeń unormowana ${\displaystyle X,}$ o tej własności, że kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną

${\displaystyle \kappa _{X}\colon X\longrightarrow X^{**}}$

dane wzorem

${\displaystyle \langle \kappa _{X}(x),f\rangle =\langle f,x\rangle \quad (x\in X,f\in X^{*}),}$

jest suriektywne (a zatem z izometryczności, jest ono wówczas izometrycznym izomorfizmem).

Pojęcie przestrzeni refleksywnej definiuje się także w kontekście przestrzeni lokalnie wypukłych, zakładając przy tym pewne dodatkowe warunki.

Przykłady

• Każda przestrzeń Hilberta jest refleksywna, co wynika z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału (zob. dowód).
• Dla każdego ${\displaystyle 1<p<\infty }$ i dowolnej miary ${\displaystyle \mu }$ przestrzeń L_p(μ) jest refleksywna.
• Przestrzeń Tsirelsona jest refleksywna.
• Istnieją przestrzenie unormowane liniowo izometryczne ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną, które nie są refleksywne – historycznie pierwszym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Jamesa ${\displaystyle J}$ (przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle J^{**}/J}$ jest jednowymiarowa).

Własności

• Przestrzenie refleksywne są zupełne (są przestrzeniami Banacha), twierdzenie to wynika z twierdzenia Banacha-Steinhausa^[1].
• W przestrzeni refleksywnej każdy zbiór domknięty, ograniczony i wypukły jest słabo zwarty, tzn. przestrzenie refleksywne ze słabą topologią mają własność Heinego-Borela. Prawdziwe jest także twierdzenie ogólniejsze, mówiące, że przestrzeń unormowana jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej domknięta kula jednostkowa jest słabo zwarta^[2][3] (dowód tego faktu wykorzystuje twierdzenie Goldstine’a).
• Domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni refleksywnej jest refleksywna. Ponadto, przestrzeń jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej ośrodkowa domknięta podprzestrzeń jest refleksywna^[3][4].
• Przestrzeń Banacha ${\displaystyle X}$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle X^{*}}$ jest refleksywna. Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.
• Przestrzeń liniowo homeomorficzna z przestrzenią refleksywną jest przestrzenią refleksywną.
• Używając twierdzenia Eberleina-Szmuljana, można wykazać, że w przestrzeni refleksywnej każdy ograniczony ciąg jej punktów ma podciąg słabo zbieżny.
• Każda przestrzeń refleksywna jest słabo ciągowo zupełna, lecz nie odwrotnie – przykładem jest przestrzeń ℓ₁^[4].

Twierdzenie Jamesa

 Osobny artykuł: twierdzenie Jamesa.

Twierdzenie Jamesa mówi, że przestrzeń Banacha ${\displaystyle X}$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony funkcjonał liniowy na ${\displaystyle X}$ osiąga swoją normę na (domkniętej) kuli jednostkowej^[5], tj. istnieje taki element ${\displaystyle x\in X}$ o normie 1, że

${\displaystyle \|f\|=\langle f,x\rangle .}$

Założenia zupełności przestrzeni nie można pominąć.

Twierdzenie Milmana-Pettisa

 Osobny artykuł: twierdzenie Milmana-Pettisa.

Twierdzenie Milmana-Pettisa mówi, że każda jednostajnie wypukła przestrzeń Banacha jest refleksywna (a więc w szczególności przestrzenie Hilberta, przestrzenie L^p(μ) dla ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ są refleksywne).

Twierdzenie Phillipsa

Przestrzeń ${\displaystyle X}$ nazywa się:

• gładką, gdy dla każdego takiego elementu ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle X,}$ że ${\displaystyle \|x\|=1}$ istnieje dokładnie jeden taki element ${\displaystyle x^{*}}$ przestrzeni ${\displaystyle X^{*},}$ że ${\displaystyle \|x^{*}\|=1}$ oraz ${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle =1.}$
• silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie ${\displaystyle x\to x^{*}}$ takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w ${\displaystyle X^{*}.}$

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej ${\displaystyle X^{*}}$ (a więc w konsekwencji przestrzeni ${\displaystyle X}$) a jej własnością Radona–Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

${\displaystyle X^{*}}$ jest refleksywna jeśli:	${\displaystyle X^{*}}$ ma własność Radona–Nikodýma jeśli:
${\displaystyle X^{****}}$ jest ściśle wypukła
${\displaystyle X^{***}}$ jest gładka (ang. smooth)	${\displaystyle X^{***}}$ jest ściśle wypukła.
${\displaystyle X^{**}}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła	${\displaystyle X^{**}}$ jest gładka
${\displaystyle X^{*}}$ jest silnie gładka (ang. very smooth)	${\displaystyle X^{*}}$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[6]
${\displaystyle X}$ jest jednostajnie wypukła	${\displaystyle X^{*}}$ jest silnie gładka

Innym kryterium refleksywności związanym z przestrzeniami sprzężonymi wyższego rzędu jest następujący wynik Ivana Singera^[7]:

Jeśli ${\displaystyle X^{***}}$ jest silnie wypukła oraz ${\displaystyle X^{*}}$ zawiera właściwą podprzestrzeń liniową ${\displaystyle Y}$ dla której odwzorowanie kanoniczne ${\displaystyle X\to Y^{*}}$ jest izometrią, to ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią refleksywną.

Przypisy

Bibliografia

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
• Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.brak strony w książce
• Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.brak strony w książce
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.brak strony w książce
• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.brak strony w książce