Przestrzeń Apperta

Przestrzeń Apperta – kontrprzykład w topologii ogólnej, przykład przeliczalnej przestrzeni topologicznej, która:

• jest całkowicie normalna;
• nie jest przeliczalnie zwarta;
• nie spełnia pierwszego aksjomatu przeliczalności;
• nie jest lokalnie zwarta.

Konstrukcja

Jeśli ${\displaystyle E}$ jest podzbiorem zbioru ${\displaystyle \mathbb {N} }$ liczb naturalnych (bez zera), to symbolem ${\displaystyle N(E,n)}$ oznaczać będziemy liczbę elementów zbioru ${\displaystyle E,}$ które są mniejsze badź równe ${\displaystyle n.}$ Podzbiór ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {N} }$ nazwiemy otwartym, jeśli ${\displaystyle 1\notin C}$ lub jeżeli ${\displaystyle 1\in C,}$ to

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N(C,n)}{n}}=1.}$

Tak zdefiniowana rodzina otwartych podzbiorów zbioru liczb naturalnych wprowadza topologię w ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Bibliografia

• A. Appert, Propriétés des Espaces Abstraits les Plus Généraux, Actualités Scientifiques et Industrielles, nos. 145 and 146, Paris, 1934, s. 82–88.
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).