Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa

Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa mówiące, że wszystkie zdarzenia w ${\displaystyle \sigma }$-ciele ogonowym rodziny niezależnych ${\displaystyle \sigma }$-ciał są pewne lub niemożliwe.

Sformułowanie

Niech ${\displaystyle (X_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będzie ciągiem zmiennych niezależnych. Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ oznacza ${\displaystyle \sigma }$-ciało generowane przez zmienną ${\displaystyle X_{n}.}$ Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n,\infty }}$ będzie ${\displaystyle \sigma }$-ciałem generowanym przez zmienne ${\displaystyle (X_{k})_{k=n}^{\infty }.}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }=\cap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n,\infty }}$

nazywamy ${\displaystyle \sigma }$-ciałem ogonowym i dla każdego zdarzenia ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{\infty }}$ jest ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$ albo ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0.}$

Intuicyjnie prawo 0-1 oznacza, że zdarzenia zależące w każdym momencie tylko od przyszłości nie podlegają losowości, gdyż żadna informacja związana z dowolnym elementem ciągu nie jest istotna nieskończenie długo.

Dowód

${\displaystyle \sigma }$-ciało ogonowe jest ${\displaystyle \sigma }$-ciałem jako przecięcie ${\displaystyle \sigma }$-ciał. ${\displaystyle \sigma }$-ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n+1,\infty }}$ i ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1},\dots ,{\mathcal {F}}_{n})}$ są dla dowolnego n niezależne, co wynika z niezależności ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n}).}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{n+1,\infty },}$ więc jest niezależne od ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$ dla każdego n. Z lematu o π- i λ-układach zastosowanego do λ-układu zdarzeń, których dowolny skończony podzbiór spełnia warunek niezależności od A wynika, że A jest niezależne od ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\dots )=\sigma ({\mathcal {F}}_{1},{\mathcal {F}}_{2},\dots )={\mathcal {F}}_{1,\infty }.}$ Ponieważ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{1,\infty }}$ zachodzi:

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (A\cap A)=\mathbb {P} (A)^{2},}$

zatem ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$ lub ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0,}$ bo tylko te liczby spełniają ${\displaystyle x^{2}=x.}$

Przykłady zdarzeń z ${\displaystyle \sigma }$-ciała ogonowego

• wystąpi nieskończenie wiele zdarzeń ze zdarzeń niezależnych ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ (Lematy Borela-Cantellego)
• szereg ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ jest zbieżny
• ciąg ${\displaystyle {\frac {\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}{n}}}$ jest ograniczony
• ciąg ${\displaystyle {\frac {\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}{n}}}$ jest zbieżny (mocne Prawo wielkich liczb)

Bibliografia

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.brak strony w książce