Pierścień uporządkowany

Pierścieniem uporządkowanym – pierścień przemienny R {\displaystyle R} z określonym porządkiem liniowym ≤ {\displaystyle \leq } spełniającym dla dowolnych a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in R} warunki

  • a ⩽ b ⟹ a + c ⩽ b + c , {\displaystyle a\leqslant b\implies a+c\leqslant b+c,}
  • ( 0 ⩽ a ∧ 0 ⩽ b ) ⟹ 0 ⩽ a b . {\displaystyle (0\leqslant a\land 0\leqslant b)\implies 0\leqslant ab.}

Niezerowy element a ∈ R {\displaystyle a\in R} nazywany jest dodatnim (odpowiednio, ujemnym), gdy 0 ⩽ a   ( a ⩽ 0 ) . {\displaystyle 0\leqslant a\ (a\leqslant 0).} Wartością bezwzględną elementu a ∈ R {\displaystyle a\in R} nazywany jest element

| a | = { a , gdy  0 ⩽ a , − a , w przeciwnym wypadku , {\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{gdy }}0\leqslant a,\\-a,&{\mbox{w przeciwnym wypadku}},\end{cases}}}

gdzie − a {\displaystyle -a} oznacza element odwrotny do elementu a {\displaystyle a} względem dodawania.

Przykłady

Pierścieniami uporządkowanymi są: pierścień liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, pierścień liczb wymiernych i pierścień liczb rzeczywistych ze zwykłymi porządkami (dwa ostatnie przykłady są nawet ciałami uporządkowanymi).

Pierścienia uporządkowanego nie tworzą natomiast liczby zespolone.

Własności

W poniższych twierdzeniach przyjmujemy, że R {\displaystyle R} jest pierścieniem uporządkowanym.

  • Dla dowolnych a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in R} zachodzi:
( a ⩽ b ∧ 0 ⩽ c ) ⟹ a ⋅ c ⩽ b ⋅ c . {\displaystyle (a\leqslant b\land 0\leqslant c)\implies a\cdot c\leqslant b\cdot c.}
  • Dla dowolnych a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} spełniony jest warunek
| a ⋅ b | = | a | ⋅ | b | . {\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|.}
  • Nietrywialny pierścień uporządkowany (czyli taki, który ma więcej niż jeden element) ma nieskończenie wiele elementów.
  • Jeśli a ∈ R , {\displaystyle a\in R,} to albo 0 < a , {\displaystyle 0<a,} albo 0 < − a , {\displaystyle 0<-a,} albo a {\displaystyle a} (gdzie przez x < y {\displaystyle x<y} rozumie się relację x ⩽ y {\displaystyle x\leqslant y} i x ≠ y {\displaystyle x\neq y} ).
  • Pierścień uporządkowany R {\displaystyle R} nie posiada dzielników zera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów dodatnich a , b ∈ R , {\displaystyle a,b\in R,} dodatni jest również ich iloczyn a ⋅ b . {\displaystyle a\cdot b.}
  • W pierścieniu uporządkowanym żaden element ujemny nie jest kwadratem innego elementu.

Zobacz też