Paradoks Buralego-Fortiego

Cesare Burali-Forti

Paradoks Buralego-Fortiego – twierdzenie odkryte w 1897 roku przez Cesarego Buralego-Fortiego[1], ucznia Giuseppe Peana, mówiące o tym, iż liczby porządkowe nie tworzą zbioru.

Sformułowanie: Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe.

Fakt ten można uzasadnić nie wprost – zakładając, że istnieje zbiór A , {\displaystyle A,} którego elementami są wszystkie liczby porządkowe, można dojść do sprzeczności. Istotnie, na mocy aksjomatu zastępowania istnieje podzbiór B {\displaystyle B} tego zbioru, złożony wyłącznie ze wszystkich liczb porządkowych. Z własności działań na liczbach porządkowych, zbiory

α = ⋃ B {\displaystyle \alpha =\bigcup B} i α ∪ { α } {\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}

są liczbami porządkowymi.

Wówczas α ∈ α ∪ { α } {\displaystyle \alpha \in \alpha \cup \{\alpha \}} oraz α ∪ { α } ∈ B , {\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}\in B,} a więc α ∈ ⋃ B = α , {\displaystyle \alpha \in \bigcup B=\alpha ,} co jest sprzeczne z aksjomatem regularności i jednocześnie kończy dowód.

Przypisy

  1. ↑ Cesare Burali-Forti. Una questione sui numeri transfiniti. „Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo”. 11, s. 154–164, 1897. DOI: 10.1007/BF03015911. 

Bibliografia

  • Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1.