Okrąg

Zobacz też: Okrąg w innych znaczeniach tego słowa.

Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od danego punktu o daną odległość. Ten ustalony punkt nazywa się środkiem, a zadaną odległość – promieniem^[1]. Zwykle przyjmuje się dodatkowo że promień musi być dodatni^[2]

Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach, jest to także 1-wymiarowa hipersfera.

Okrąg jest brzegiem pewnego koła.

Okrąg w układzie współrzędnych

Niech ${\displaystyle O(x_{0},\ y_{0})}$ będzie ustalonym punktem, zaś ${\displaystyle r}$ ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem jest zbiór punktów ${\displaystyle (x,\ y)}$ płaszczyzny euklidesowej spełniających równanie

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.}$

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+r\cos \alpha \\y=y_{0}+r\sin \alpha \end{cases}},}$

gdzie parametr ${\displaystyle \alpha \in [0,\ 2\pi ).}$

W układzie współrzędnych biegunowych, równanie okręgu o promieniu ${\displaystyle r}$ i środku znajdującym się w biegunie układu współrzędnych, przyjmuje postać ${\displaystyle r(\varphi )=r=const}$ dla dowolnego kąta ${\displaystyle \varphi \in [0,2\pi ).}$

Powiązane pojęcia

Punkt ${\displaystyle O}$ nazywany jest środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku ${\displaystyle O}$ i końcu w jednym z punktów okręgu nazywany jest promieniem, również długość ${\displaystyle r}$ nazywana jest tym terminem.

Sieczna jest to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywa się styczną do okręgu.

Cięciwą nazywa się odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia, tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez ${\displaystyle d.}$ Zachodzi równość ${\displaystyle d=2r.}$

Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest stałą matematyczną oznaczaną literą ${\displaystyle \pi .}$

Stąd długość okręgu wyraża się wzorem:

${\displaystyle L=2\pi r.}$

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem:

${\displaystyle S=\pi r^{2}.}$

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Rozpatrywane są dwa okręgi o środkach ${\displaystyle O_{1}}$ i ${\displaystyle O_{2}}$ oraz promieniach odpowiednio ${\displaystyle r_{1}}$ i ${\displaystyle r_{2}.}$ Przez ${\displaystyle d(O_{1},O_{2})}$ rozumieć należy odległość między środkami okręgów.

Na płaszczyźnie

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

• identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: ${\displaystyle O_{1}=O_{2}\land r_{1}=r_{2},}$
• współśrodkowe – mają ten sam środek: ${\displaystyle O_{1}=O_{2},}$
• styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: ${\displaystyle d(O_{1},O_{2})=|r_{1}-r_{2}|,}$
• styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: ${\displaystyle d(O_{1},O_{2})=r_{1}+r_{2},}$
• rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: ${\displaystyle d(O_{1},O_{2})<|r_{1}-r_{2}|,}$ albo leżą na zewnątrz swoich kół: ${\displaystyle d(O_{1},O_{2})>r_{1}+r_{2},}$
• przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: ${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<d(O_{1},O_{2})<r_{1}+r_{2}.}$

W przestrzeni trójwymiarowej

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

• współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
• identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
• styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny,
• rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
• rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Tak więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej ${\displaystyle (X,\varrho )}$ okrąg ze środkiem ${\displaystyle x_{0}}$ i promieniem ${\displaystyle r}$ to zbiór punktów

${\displaystyle \{x\colon \varrho (x_{0},x)=r\}.}$

W tym rozumieniu często zamiast słowa „okrąg” stosuje się słowo „sfera”.

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg, istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, w których okręgami są inne zbiory euklidesowe, np. kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach albo obrócony o 45°). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem jest zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest dwuwymiarowa sfera.

Zobacz też

Zobacz hasło okrąg w Wikisłowniku

• cyrkiel
• koło
• konstrukcje geometryczne
• lista krzywych
• półokrąg
• sfera

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Circle, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].