Odcinek

Ten artykuł dotyczy części prostej. Zobacz też: Inne znaczenia.

Odcinek – część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami^[1] z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

W przestrzeni trójwymiarowej z kartezjańskim układem współrzędnych ${\displaystyle XYZ}$ odcinek o końcach ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),\ (x_{2},y_{2},z_{2})}$ jest zbiorem punktów ${\displaystyle (x,y,z)}$ opisanych układem równań

${\displaystyle {\begin{cases}x=(1-t)x_{1}+tx_{2},\\[2pt]y=(1-t)y_{1}+ty_{2},\\[2pt]z=(1-t)z_{1}+tz_{2},\end{cases}}}$

gdzie:

${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1.}$

W przestrzeni jednowymiarowej (na osi liczbowej) definicja ta ogranicza się do pierwszej równości:

${\displaystyle x=(1-t)x_{1}+tx_{2}}$

przy ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1,}$ stając się równoważną definicji przedziału ${\displaystyle [x_{1},x_{2}].}$

W przestrzeni dwuwymiarowej powyższy układ sprowadza się do dwóch pierwszych równań. W przestrzeni o większej liczbie wymiarów należy dopisać kolejne równania.

Uogólnienie na przestrzenie wektorowe

W dowolnej przestrzeni wektorowej odcinek ${\displaystyle AB}$ (tzn. odcinek o końcach ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ będących punktami tej przestrzeni) jest zbiorem punktów leżących „pomiędzy” ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ jako ich średnie ważone przy dowolnych nieujemnych wagach:

${\displaystyle AB=\{(1-t)\cdot A+t\cdot B:\ 0\leqslant t\leqslant 1\}.}$

Dla przestrzeni z kartezjańskim układem współrzędnych definicja ta, poprzez rozpisanie warunków na poszczególne współrzędne, wprost sprowadza się do definicji podanej powyżej.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne

W przestrzeni metrycznej odcinek o końcach ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ można definiować jako zbiór punktów ${\displaystyle X}$ tej przestrzeni leżących „pomiędzy” ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ jako spełniających warunek:

odległość od ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle B}$ równa jest sumie odległości od ${\displaystyle A}$ do ${\displaystyle X}$ i od ${\displaystyle X}$ do ${\displaystyle B.}$

Algebraicznie warunek ten wyraża się jako równość:

${\displaystyle \sigma _{AB}=\sigma _{AX}+\sigma _{XB},}$

gdzie ${\displaystyle \sigma _{PQ}}$ jest odległością pomiędzy ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q}$ według metryki obowiązującej w danej przestrzeni.

Zobacz też

Zobacz kolekcję cytatów o odcinku w Wikicytatach

Zobacz hasło odcinek w Wikisłowniku

• prosta

Przypisy