Następnik liczby kardynalnej

Ten artykuł należy dopracować: poprawić podobnie do następnik liczby porządkowej. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Następnik liczby kardynalnej – operacja zdefiniowana dla liczb kardynalnych, podobnie jak następnik liczby porządkowe, w taki sposób, że pomiędzy daną liczbą kardynalną ${\displaystyle \kappa }$ a jej następnikiem ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ nie ma innych liczb kardynalnych.

Operację następnika dla liczb kardynalnych definiuje się następująco:

${\displaystyle \kappa ^{+}=\{\alpha \in ON\mid |\alpha |\leqslant \kappa \},}$

gdzie ${\displaystyle ON}$ oznacza klasę wszystkich liczb porządkowych.

Można łatwo udowodnić, że ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ jest liczbą porządkową i ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ jest najmniejsza spośród liczb porządkowych o mocy większej od ${\displaystyle \kappa .}$

Następnik liczby ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ nazywamy ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ (gdzie symbol ${\displaystyle +}$ oznacza dodawanie liczb porządkowych). Na przykład ${\displaystyle (\aleph _{0})^{+}=\aleph _{1}}$ i ${\displaystyle (\aleph _{1})^{+}=\aleph _{2}.}$

Uwaga: Każda liczba kardynalna jest także liczbą porządkową, więc ma dwa następniki – jeden w sensie liczb kardynalnych, a drugi w sensie liczb porządkowych. Na przykład następnik liczby kardynalnej ${\displaystyle \aleph _{0}}$ to ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (= następna liczba kardynalna), a następnik liczby porządkowej ${\displaystyle \omega }$ to ${\displaystyle \omega +1}$ (= następna liczba porządkowa).

Liczba kardynalna, która nie jest następnikiem żadnej innej liczby kardynalnej, nazywana jest liczbą kardynalną graniczną. Na przykład ${\displaystyle \aleph _{\omega }:=\sup\{\aleph _{0},\aleph _{1},\dots \}}$ jest pierwszą nieprzeliczalną graniczną liczbą kardynalną.