Miara obrazowa

Miara obrazowa (ang. pushforward measure) – miara uzyskiwana poprzez przeniesienie pewnej miary z jednej przestrzeni mierzalnej do innej za pomocą funkcji mierzalnej.

Definicja formalna

Dla danych przestrzeni mierzalnych ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})}$ i ${\displaystyle (Y,{\mathfrak {N}}),}$ funkcji mierzalnej ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oraz miary ${\displaystyle \mu \colon {\mathfrak {M}}\to [0,\infty ]}$ miarą obrazową miary ${\displaystyle \mu }$ nazywa się miarę ${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon {\mathfrak {N}}\to [0,\infty ]}$ daną wzorem

${\displaystyle {\big (}f_{*}(\mu ){\big )}(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right){\text{ dla }}B\in {\mathfrak {N}}.}$

Definicja ta przenosi się mutatis mutandis na miary ze znakiem i zespolone.

Przykłady i zastosowania

• Za pomocą konstrukcji miary obrazowej i miary Lebesgue’a ${\displaystyle \lambda }$ na prostej rzeczywistej można zdefiniować naturalną „miarę Lebesgue’a” na okręgu jednostkowym ${\displaystyle \operatorname {S} ^{1}}$ (rozważanym tutaj jako podzbiór płaszczyzny zespolonej). Niech ${\displaystyle \ell }$ oznacza zawężenie miary Lebesgue’a do przedziału ${\displaystyle [0,2\pi ],}$ zaś ${\displaystyle f\colon [0,2\pi )\to \operatorname {S} ^{1}}$ będzie bijekcją naturalną określoną wzorem ${\displaystyle f(t)=e^{it}.}$ Wspomniana naturalna „miara Lebesgue’a” na ${\displaystyle \operatorname {S} ^{1}}$ jest wtedy miarą obrazową ${\displaystyle f_{*}(\ell ),}$ która może być także nazywana „miarą długości łuku” lub „miarą kątową”, ponieważ miara ${\displaystyle f_{*}(\ell )}$ łuku jest istotnie długością łuku (lub równoważnie miarą kąta środkowego wyznaczaną przez ten łuk).
• Poprzedni przykład łatwo rozszerza się do naturalnej „miary Lebesgue’a” na ${\displaystyle n}$-wymiarowym torusie ${\displaystyle \operatorname {T} ^{n},}$ przy czym jest on przypadkiem szczególnym zagadnienia z torusem, gdyż ${\displaystyle \operatorname {S} ^{1}=T^{1}.}$ Wspomniana miara Lebesgue’a na ${\displaystyle \operatorname {T} ^{n}}$ jest, z dokładnością do normalizacji, miarą Haara na zwartej, spójnej grupie Liego ${\displaystyle \operatorname {T} ^{n}.}$
• Miary gaussowskie na nieskończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych określa się za pomocą miary obrazowej i standardowej miary Gaussa na prostej rzeczywistej: miarę borelowską ${\displaystyle \gamma }$ na ośrodkowej przestrzeni Banacha nazywa się gaussowską, jeżeli miara obrazowa ${\displaystyle \gamma }$ dowolnego niezerowego funkcjonału liniowego z ciągłej przestrzeni sprzężonej w ${\displaystyle X}$ jest miarą Gaussa na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• Niech dana będzie funkcja mierzalna ${\displaystyle f\colon X\to X}$ oraz ${\displaystyle n}$-krotne złożenie ${\displaystyle f{:}}$

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n{\text{ razy}}}\colon X\to X.}$

Powyższe funkcje iterowane tworzą układ dynamiczny. Badanie takich układów oznacza m.in. poszukiwanie miary ${\displaystyle \mu }$ na ${\displaystyle X,}$ której przekształcenie ${\displaystyle f}$ zachowuje, tzw. miary niezmienniczej, czyli takiej, dla której ${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu .}$

• Można również rozważać miary quasi-niezmiennicze dla takiego układu dynamicznego: miara ${\displaystyle \mu }$ na ${\displaystyle X}$ nazywa się quasi-niezmienniczą względem ${\displaystyle f,}$ jeżeli tylko miara obrazowa ${\displaystyle \mu }$ w ${\displaystyle f}$ jest równoważna oryginalnej mierze ${\displaystyle \mu }$ (nie musi być jej równa).