Miara borelowska

Miara borelowska – miara określona na ${\displaystyle \sigma }$-ciele podzbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej, tzn. najmniejszym ${\displaystyle \sigma }$-ciele zawierającym wszystkie zbiory otwarte tej przestrzeni.

Przykłady

• Miara Lebesgue’a w dowolnej przestrzeni euklidesowej jest miarą borelowską, która jest zupełna. Każdy ograniczony zbiór borelowski jest skończonej miary.
• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią metryczną oraz ${\displaystyle \theta }$ jest miarą zewnętrzną metryczną, to ${\displaystyle \theta }$ zawężona do rodziny zbiorów borelowskich jest miarą borelowską.

Inne rozumienie miary borelowskiej

Czasami „miara borelowska” oznacza wszystkie - rzeczywiste bądź zespolone - przeliczalnie addytywne funkcje zbiorów określone na rodzinie zbiorów borelowskich. Takie podejście jest szczególnie popularne w kontekście operowania miarami borelowskimi jako ciągłymi funkcjonałami liniowymi na przestrzeni funkcji ciągłych określonych na pewnej przestrzeni zwartej (por. twierdzenie Riesza).

Zobacz też

• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Bibliografia

• Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1995, s. 105-107, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.