Metoda Pawłowskiego

Metoda Pawłowskiego – metoda doboru zmiennych objaśniających do modelu statystycznego (w szczególności modelu ekonometrycznego) stworzona przez Zbigniewa Pawłowskiego.

Załóżmy, że istnieje zbiór ${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}\}}$ potencjalnych zmiennych objaśniających dla zmiennej objaśnianej ${\displaystyle Y.}$ Do modelu może wejść ${\displaystyle m}$ zmiennych, gdzie ${\displaystyle m<p.}$

Wybieramy taką kombinację, która zapewnia z góry ustaloną dokładność opisu zmiennej ${\displaystyle Y}$ oraz możliwie najmniejsze skorelowanie między ${\displaystyle m}$-elementową kombinacją zmiennych objaśniających.

Aby model był dokładny zakłada się, że wartość współczynnika korelacji wielorakiej między zmienną endogeniczną a ${\displaystyle m}$-elementowym zbiorem zmiennych objaśniających była nie mniejsza niż z góry zadana liczba ${\displaystyle \delta >0.}$

Oznaczamy ${\displaystyle r_{j}}$ jako współczynnik korelacji między zmienną objaśnianą ${\displaystyle Y}$ a zmienną objaśniającą ${\displaystyle X_{j},}$ a także współczynnik korelacji ${\displaystyle r_{jl}}$ między zmiennymi objaśniającymi ${\displaystyle X_{j}}$ i ${\displaystyle X_{l}.}$ Otrzymane współczynniki korelacji między zmiennymi objaśniającymi tworzą macierz korelacji ${\displaystyle R,}$ natomiast współczynniki korelacji między zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi wektor korelacji ${\displaystyle R_{0}{:}}$

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&r_{12}&...&r_{1m}\\r_{21}&1&...&r_{2m}\\...&...&...&...\\r_{m1}&r_{m2}&...&1\end{bmatrix}},\;R_{0}={\begin{bmatrix}r_{1}\\r_{2}\\...\\r_{m}\end{bmatrix}}.}$

Następnie budujemy tzw. macierz rozszerzoną ${\displaystyle R^{*}{:}}$

${\displaystyle R^{*}={\begin{bmatrix}1&R_{0}^{T}\\R_{0}&R\end{bmatrix}}.}$

Macierze ${\displaystyle R}$ oraz ${\displaystyle R^{*}}$ wykorzystujemy do budowy współczynnika korelacji wielorakiej ${\displaystyle R,}$ który jest miarą liniowej zależności między zmienną objaśnianą a liniową kombinacją zmiennych objaśniających. Obliczany jest ze wzoru:

${\displaystyle R={\sqrt {1-{\frac {|R^{*}|}{|R|}}}}\in [0,1],}$

gdzie:

• ${\displaystyle |R^{*}|}$ – wyznacznik macierzy korelacji ${\displaystyle m}$-elementowej kombinacji zmiennych objaśniających, do której dołączono wektor współczynników korelacji zmiennej endogenicznej ze zmiennymi objaśniającymi,
• ${\displaystyle |R|}$ – wyznacznik z macierzy korelacji ${\displaystyle m}$-elementowej kombinacji zmiennych objaśniających.

Współczynnik korelacji wielorakiej przyjmuje wartości z przedziału ${\displaystyle [0,1].}$ Jeżeli ${\displaystyle R=0,}$ to nie ma zależności liniowej, natomiast gdy ${\displaystyle R=1,}$ to między zmienną objaśniana a liniową kombinacją zmiennych objaśniających zachodzi zależność funkcyjna liniowa. W związku z tym, im wyższa jest wartość współczynnika, tym większa jest zależność funkcyjna.

Aby wybrać optymalną kombinację, rozpatrujemy wszystkie ${\displaystyle m}$-elementowe kombinacje, jakie można utworzyć ze zbioru X potencjalnych zmiennych objaśniających. Następnie wybieramy te kombinacje, które spełniają warunek dokładności ${\displaystyle (R\geqslant \delta ),}$ a tworzą one zbiór kombinacji dopuszczalnych. Wśród wybranych kombinacji poszukuje się najlepszej, czyli takiej, w której zmienne objaśniające są najsłabiej skorelowane między sobą.

Za optymalną przyjmuje się taką kombinację ${\displaystyle m}$ zmiennych, gdzie wyznacznik z macierzy korelacji jest największy ${\displaystyle (R=\max ),}$ ponieważ im wyznacznik jest bliższy jedności, tym zmienne są słabiej skorelowane.

Bibliografia

• A. Barczak, J. Biolik, Podstawy ekonometrii, Wydawnictwo AE Katowice, Katowice 2003, ISBN 83-87265-87-X.
• J. Dziechciarz, Ekonometria. Metody, przykłady, zadania, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 2002, ISBN 83-7011-551-9.