Macierz centrosymetryczna

Macierz centrosymetryczna – macierz, której wyrazy położone symetrycznie względem środka tej macierzy są równe.

Definicja

Formalnie jest to macierz kwadratowa ${\displaystyle A=[a_{i,j}]}$ stopnia ${\displaystyle n,}$ która dla ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ spełnia warunek

${\displaystyle a_{i,j}=a_{n-i+1,n-j+1}.}$

Własności

• Niech ${\displaystyle J}$ będzie macierzą kwadratową, gdzie na głównej antyprzekątnej są ${\displaystyle 1,}$ a reszta jest wypełniona ${\displaystyle 0.}$ Macierz ${\displaystyle A}$ jest centrosymetryczna wtedy i tylko wtedy gdy ${\displaystyle AJ=JA.}$
• Niech macierze ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ będą centrosymetryczne, wtedy macierze ${\displaystyle C=A+B}$ oraz ${\displaystyle D=AB}$ również są centrosymetryczne.

Przykłady

• Każda 2×2 macierz centrosymetryczna ma postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

• Każda 3×3 macierz centrosymetryczna ma postać

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&d\\c&b&a\end{bmatrix}}.}$

• Symetryczna macierz Toeplitza jest centrosymetryczna.

Bibliografia

• Alan L.A.L. Andrew Alan L.A.L., Eigenvectors of certain matrices, „Linear Algebra and its Applications”, 2, 1973, s. 151–162, DOI: 10.1016/0024-3795(73)90049-9 [dostęp 2015-12-25] .
• D.D. Tao D.D., M.M. Yasuda M.M., A Spectral Characterization of Generalized Real Symmetric Centrosymmetric and Generalized Real Symmetric Skew-Centrosymmetric Matrices, „SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications”, 3, 2002, s. 885–895, DOI: 10.1137/S0895479801386730, ISSN 0895-4798 [dostęp 2015-12-25] .1 stycznia

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Centrosymmetric Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).