Kwadrat magiczny (matematyka)

Kwadrat magiczny – kwadratowa tablica (macierz), w której komórki wpisano liczby w ten sposób, że ich suma w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama^[1] (tzw. suma magiczna). Czasem dodatkowo wymaga się, by elementy kwadratu magicznego nie powtarzały się i były dodatnimi liczbami naturalnymi^{[potrzebny przypis]}. Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n². Suma magiczna takiego kwadratu wynosi $S={\tfrac {n(n^{2}+1)}{2}}.$

Sposób zrobienia kwadratu 3x3

a-b	a+b-c	a+c
a+b+c	a	a-b-c
a-c	a-b+c	a+b

W tabeli pokazano, jak zrobić kwadrat magiczny 3x3. Wystarczy wybrać jakiekolwiek liczby naturalne dodatnie dla a, b i c, takie, że b/c<>1/2,1,2 oraz a>b+c. Na przykład jeśli a=5, b=3, natomiast c=1, otrzymamy kwadrat jak na rysunku powyżej.

Kwadrat magiczny 5x5

23	6	19	2	15
4	12	25	8	16
10	18	1	14	22
11	24	7	20	3
17	5	13	21	9

Na pokazanym kwadracie wpisano liczby od 1 do 25 i ten kwadrat ma następujące własności:

każdy rząd daje w sumie 65
każda kolumna daje w sumie 65
każda przekątna daje w sumie 65
każdy 5-liczbowy plus „+” daje w sumie 65
każdy 5-liczbowy krzyżyk „x” daje w sumie 65
duży plus „+” (cztery środkowe liczby na bokach i liczba środkowa kwadratu) daje w sumie 65
duży krzyżyk „x” (cztery liczby na rogach i liczba środkowa kwadratu) daje w sumie 65
gdyby np. przesunąć lewą kolumnę do prawego boku, powstałoby więcej krzyżyków i plusów oraz nowe przekątne, które także dałyby w sumie 65.

Jak zrobić kwadrat 5x5

Najprostszą metodą na zrobienie takiego kwadratu jest wpisanie najmniejszej z liczb na środku. W przypadku sumy liczb równej 0 jest to -12. Następnie należy wpisać liczbę o 1 większą w pole znajdujące się o 2 w górę i 1 w prawo (tak jak skoczek porusza się w szachach). W przypadku gdy jest to pole poza kwadratem należy: liczyć od dołu (jeśli za wysoko) lub od lewej (jeśli za bardzo na prawo). UWAGA: przy wpisaniu piątej liczby zamiast poruszyć się „metodą skoczka” powinno się ruszyć o 1 pole w dół! Należy kontynuować zgodnie z „metodą skoczka” do wpisania dziesiątej liczby (znowu ruch w dół) itd. W przypadku sumy liczb równej 5 najmniejszą liczbą jest -11 i dalej powinno się poruszać zgodnie z instrukcjami opisanymi powyżej. W przypadku sumy równej 10 najmniejszą liczbą jest -10 i dalej powinno się poruszać zgodnie z instrukcjami opisanymi powyżej itd. Pozostaje jednak pytanie: co zrobić jeśli suma ma być niepodzielna przez 5? Odpowiedź jest prosta. Należy znaleźć największą liczbę podzielną przez 5 mniejszą od danej liczby i wykonać polecenia do tej liczby. Dalej powinno się odjąć od wybranej liczby liczbę, do której wykonywało się polecenia. Następnie trzeba znaleźć pięć największych liczb i powiększyć je o otrzymaną różnicę.

Własności

Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):

Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.
Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.
Jeśli weźmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S₁ i S₂, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat, który też może być magiczny (nie ma jednak gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne), a jego suma magiczna wyniesie S₁+S₂.

Dla kwadratów trzeciego stopnia (n=3) prawdziwe są też następujące własności: Sumę magiczną kwadratu można szybko wyznaczyć, bez potrzeby sumowania liczb w kolumnach, wierszach bądź przekątnych, za pomocą wzoru $S={\tfrac {3(X+Y)}{2}},$ gdzie:

X – pierwsza liczba kwadratu magicznego (w lewym górnym rogu),
Y – ostatnia liczba kwadratu (w prawym dolnym rogu).

Wzór ten można zastosować nie tylko do liczb znajdujących się na tych rogach, a do dowolnych dwóch liczb ułożonych symetrycznie względem środka kwadratu. Dodatkowo liczba znajdująca się na środkowym polu kwadratu jest równa 1/3 sumy magicznej.

Kwadraty magiczne znali już starożytni Chińczycy^[1] i Hindusi, wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach. Chiński kwadrat magiczny, luoshu, miał zostać wynaleziony około 2800 p.n.e. przez Fuxi i dał podwaliny sztuce feng shui. Chińscy architekci radzili stosować magiczny kwadrat podczas projektowania domów, pałaców i miast. Najbardziej znaną budowlą, gdzie podczas projektowania ściśle zastosowano zasadę idealnego kwadratu jest Cesarski Pałac w Pekinie.

Przykłady

Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest prawdopodobnie ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim miedziorycie Melancholia I. Zapewne nieprzypadkowo w dwóch wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514^[1].

{\begin{bmatrix}16&3&2&13\\5&10&11&8\\9&6&7&12\\4&15&14&1\\\end{bmatrix}}

Kwadrat z Melancholii Dürera nad skrzydłem anioła

n = 4, S = 34 (16+1=17; 10+7=17; 13+4=17; 6+11=17; 15+2=17; 14+3=17; 12+5=17; 8+9=17)

Inne przykłady:

${\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&35&34&4\\32&6&7&29\\8&30&31&5\\33&3&2&36\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}37&48&59&70&81&2&13&24&35\\36&38&49&60&71&73&3&14&25\\26&28&39&50&61&72&74&4&15\\16&27&29&40&51&62&64&75&5\\6&17&19&30&41&52&63&65&76\\77&7&18&20&31&42&53&55&66\\67&78&8&10&21&32&43&54&56\\57&68&79&9&11&22&33&44&46\\47&58&69&80&1&12&23&34&45\end{bmatrix}}$
n = 3, S = 15	n = 4, S = 74	n = 9, S = 369