Dowód niekonstruktywny

Ten artykuł należy dopracować: od 2024-03 → poprawić styl – powinien być encyklopedyczny, od 2024-03 → zweryfikować treść i dodać przypisy, od 2024-03 → napisać artykuł w sposób neutralny. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Dowód niekonstruktywny – metoda dowodzenia w matematyce istnienia pewnych obiektów (zbiorów, liczb, figur, funkcji) bez jawnego wskazania tych obiektów lub podania sposobu ich konstruowania.

Zwykle są to dowody nie wprost, w których wykazuje się, że założenie o nieistnieniu badanego obiektu prowadzi do sprzeczności z założeniami twierdzenia. Z tego wyciąga się wniosek o istnieniu rozpatrywanego obiektu. Rozumowania korzystające z zasady szufladkowej Dirichleta albo z aksjomatu wyboru zazwyczaj też są niekonstruktywne.

Przykładem dowodu niekonstruktywnego jest dowód następującego twierdzenia:

Twierdzenie. Istnieją takie dwie liczby niewymierne dodatnie ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y,}$ że ${\displaystyle x^{y}}$ jest liczbą wymierną.

Dowód:

• Jeżeli ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ jest liczbą wymierną, to możemy wziąć

${\displaystyle x=y={\sqrt {2}}.}$

• Jeżeli ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ jest liczbą niewymierną^[a], to biorąc

${\displaystyle x={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}},y={\sqrt {2}}}$

mamy

${\displaystyle x^{y}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}=2.}$

Dowód niekonstruktywny spotykał się z krytyką intuicjonistów, którzy m.in. w niefrasobliwym stosowaniu prawa wyłączonego środka w dowodach egzystencjalnych upatrywali przyczynę pojawiania się w matematyce paradoksów (np. paradoksy w teorii mnogości), jak również pojawiania się obiektów, których istnienie jawnie kłóciło się z intuicją (np. paradoksalny rozkład kuli). Proponowany przez nich program przebudowy matematyki i narzucenia pewnej dyscypliny metodologicznej nie spotkał się z przychylnością zdecydowanej większości matematyków, bowiem prowadziłoby to do odrzucenia dużej części dorobku tej dyscypliny.

Uwagi