Circle Limit III

Circle Limit III – drzeworyt holenderskiego artysty M.C. Eschera z 1959 roku. Jest to jeden z czterech drzeworytów artysty przedstawiających cechy geometrii hiperbolicznej, zilustrowane za pomocą uporządkowanej kolorystycznie ławicy ryb. Holenderski fizyk i matematyk Bruno Ernst(inne języki) określił go jako „najlepszy z czterech”[1].

Inspiracja

Trójkątny parkietaż hiperboliczny (6,4,2), który zainspirował Eschera

Escher zainteresował się parkietażem w 1936 po zwiedzeniu Alhambry w Grenadzie w andaluzyjskim regionie Hiszpanii[2][3]. Już w 1937 stworzył Metamorphosis I(inne języki), którym rozpoczął wprowadzanie mozaiki postaci ludzkich lub zwierzęcych w swych dziełach[3].

W 1958 Escher napisał list do H.S.M. Coxetera o tym, że ilustracja w jego artykule Crystal Symmetry and its Generalizations zainspirowała go do stworzenia serii Circle Limit[4]. Ilustracja w artykule Coxetera przedstawia parkietaż płaszczyzny w geometrii hiperbolicznej z trójkątów prostokątnych o kątach 30°, 45° i 90°. Takie trójkąty nie istnieją w geometrii euklidesowej, jednak są możliwe w geometrii hiperbolicznej. Taki parkietaż można zinterpretować jako przedstawienie linii odbić i głównych domen z (6,4,2)(inne języki) grupy trójkątnej(inne języki)[5]. Podstawową analizę ilustracji Coxetera, tak jak ją mógł rozumieć Escher, dokonał Casselman w 2010[6].

Geometria

Przypuszczalnie Escher wierzył, że białe krzywe na jego drzeworycie, które dzielą ryby na pół, przedstawiają proste hiperboliczne w modelu Poincarego(inne języki) płaszczyzny hiperbolicznej, w którym cała dwuwymiarowa przestrzeń jest umieszczona w kole na płaszczyźnie euklidesowej, a hiperboliczne proste są reprezentowane przez łuki prostopadłe do brzegu koła. Escher nawet opisał, że ruch ryb jest prostopadły do brzegu[1]. Jednak Coxeter wykazał, że nie jest to układ linii, który wykreśla naprzemiennie kwadraty i trójkąty równoboczne w przestrzeni hiperbolicznej, lecz są to ekwidystanty stykające się z brzegiem koła pod kątem arccos ⁡ 2 1 / 4 − 2 − 1 / 4 2 {\displaystyle \arccos {\tfrac {2^{1/4}-2^{-1/4}}{2}}} [7].

Punkty w środkach kwadratów, w których spotykają się cztery ryby płetwami, tworzą wierzchołek ośmiu trójkątów równobocznych. Natomiast środki tych trójkątów są określone przez punkty, w których spotykają się trzy płetwy ryb oraz punkty, w których przecinają się trzy białe linie. Całość tworzy ośmiokątne kafelki[8]. Podobne parkietaże z liniami ryb mogą być konstruowane dla innych hiperbolicznych kafelków utworzonych przez wielokąty inne niż trójkąty i kwadraty, lub z więcej niż trzema krzyżującymi się białymi krzywymi[9].

Współrzędne euklidesowe okręgów zawierających trzy najbardziej widoczne białe krzywe w drzeworycie można otrzymać przez obliczenia w polu dwukwadratowym(inne języki) Q ( 2 + 3 ) {\displaystyle Q({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})} [10].

Symetria

Postrzegając wzór na płaszczyźnie hiperbolicznej ignorując kolory ryb, drzeworyt ma potrójną i poczwórną symetrię obrotową względem środków trójkątów i kwadratów wykreślonych przez białe linie[11]. W zapisie orbifold(inne języki) ta grupa symetrii jest oznaczona jako 433[11].

Druk

Ryby są przedstawione za pomocą czterech kolorów, dzięki czemu każdy potok ryb wzdłuż białej linii ma jeden kolor, a każda sąsiadująca ryba ma inny kolor. Kolorem czarnym zaznaczono rybi kontur[12]. Drzeworyt ma w sumie pięć kolorów i jest drukowany z użyciem pięciu desek[13][12]. Pełny wydruk wymagał czterokrotnego użycia każdej deski z odpowiednim kolorem[13]. Średnica uzyskanego obrazu to 41,5 cm (16 5/16 in.)[12].

Wystawy

Drzeworyt jest częścią wystawy w muzeum Eschera(inne języki) w Hadze[14]. Jego kopia jest również w zbiorach National Gallery of Canada[15].

Przypisy

  1. ↑ a b Coxeter 1979 ↓, s. 20.
  2. ↑ Emmer 2006 ↓.
  3. ↑ a b Schattschneider 2010 ↓, s. 707.
  4. ↑ Coxeter 1979 ↓, s. 19.
  5. ↑ Coxeter 1997 ↓.
  6. ↑ Casselman 2010 ↓.
  7. ↑ Coxeter 1979 ↓, s. 24.
  8. ↑ Coxeter 1979 ↓, s. 20-21.
  9. ↑ Dunham 2006 ↓.
  10. ↑ Coxeter 1996 ↓, s. 42.
  11. ↑ a b Conway 1992 ↓, s. 446.
  12. ↑ a b c Circle Limit III, National Gallery of Art, Waszyngton [dostęp 2021-07-04]  (ang.).
  13. ↑ a b Hart 2017 ↓, s. 8.
  14. ↑ Room 10b, [w:] Take a look inside [online], dutchvr.nu [dostęp 2021-07-04] .
  15. ↑ Circle Limit III [online], National Gallery of Canada [dostęp 2021-07-04] [zarchiwizowane z adresu 2021-07-09]  (ang.).

Bibliografia

  • BillB. Casselman BillB., How did Escher do it?, [w:] Feature Column [online], AMS, czerwiec 2010 .
  • John HortonJ.H. Conway John HortonJ.H., The orbifold notation for surface groups, [w:] Martin W.M.W. Liebeck, JanJ. Saxl (red.), Groups, Combinatorics & Geometry, t. 165, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992 (London Math. Soc. Lecture Note Ser.), DOI: 10.1017/CBO9780511629259.038  (ang.).
  • Harold Scott MacDonaldH.S.M. Coxeter Harold Scott MacDonaldH.S.M., The Non-Euclidean Symmetry of Escher's Picture 'Circle Limit III', „Leonardo”, 12 (1), 1979, s. 19-25, JSTOR: 1574078  (ang.).
  • Harold Scott MacDonaldH.S.M. Coxeter Harold Scott MacDonaldH.S.M., The Trigonometry of Escher’s Woodcut “Circle Limit III”, „The Mathematical Inteligencer”, 18 (4), 1996, s. 42-46, DOI: 10.1007/BF03026752  (ang.).
  • Harold Scott MacDonaldH.S.M. Coxeter Harold Scott MacDonaldH.S.M., The trigonometry of hyperbolic tessellations, „Canadian Mathematical Bulletin”, 40 (2), 1997, s. 158-168, DOI: 10.4153/CMB-1997-019-0  (ang.).
  • DouglasD. Dunham DouglasD., More “Circle Limit III” patterns [online], 2006 [dostęp 2021-07-04]  (ang.).
  • MicheleM. Emmer MicheleM., Escher, Coxeter and symmetry, „International Journal of Geometric Methods in Modern Physics”, 3 (05n06), 2006, s. 869–879, DOI: 10.1142/S0219887806001594  (ang.).
  • SarahS. Hart SarahS., Escher and Coxeter - A Mathematical Conversation, Gresham College, 5 czerwca 2017 [dostęp 2021-07-04]  (ang.).
  • DorisD. Schattschneider DorisD., The mathematical side of M. C. Escher, „Notices of the AMS”, 57 (6), 2010, s. 706–718  (ang.).

Linki zewnętrzne

  • ElżbietaE. Stróżecka ElżbietaE., W magicznym zwierciadle Eschera [online], Wrocławski Portal Matematyczny, 20 grudnia 2012 [dostęp 2021-07-04]  (pol.).
  • TomaszT. Żak TomaszT., M. C. Escher – artysta, który w XX wieku odkrył twierdzenia nieznane matematykom, Politechnika Wrocławska, 24 marca 2011 [dostęp 2021-07-04]  (pol.).
  • Coxeter discusses the math behind Escher's circle limit, [w:] twistedlot [online], YouTube, 26 grudnia 2010 [dostęp 2021-07-04]  (ang.).
  • Obraz drzeworytu w Wikipedii angielskojęzycznej