Ciało uporządkowane

Ciało uporządkowane – ciało K , {\displaystyle K,} w którym wyróżniony jest podzbiór D {\displaystyle D} elementów dodatnich o następujących własnościach:

  1. zbiór K {\displaystyle K} jest sumą trzech zbiorów rozłącznych: K = − D ∪ { 0 } ∪ D , {\displaystyle K=-D\cup \{0\}\cup D,}
  2. zbiór D {\displaystyle D} jest zamknięty ze względu na dodawanie: D + D ⊂ D , {\displaystyle D+D\subset D,}
  3. zbiór D {\displaystyle D} jest zamknięty ze względu na mnożenie: D ⋅ D ⊂ D , {\displaystyle D\cdot D\subset D,}

gdzie − D = { − x : x ∈ D } , {\displaystyle -D=\{-x:x\in D\},} D + D = { x + y : x , y ∈ D } {\displaystyle D+D=\{x+y:x,y\in D\}} oraz D ⋅ D = { x ⋅ y : x , y ∈ D } {\displaystyle D\cdot D=\{x\cdot y:x,y\in D\}} [1][2].

Można to wypowiedzieć tak: ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim (większym od zera, oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:

  1. Dla każdego a ∈ K {\displaystyle a\in K} ma miejsce jedna z trzech zależności: a = 0 , a > 0 , − a > 0 {\displaystyle a=0,\,a>0,\,-a>0}
  2. Jeśli a > 0 {\displaystyle a>0} i b > 0 , {\displaystyle b>0,} to a + b > 0 {\displaystyle a+b>0}
  3. Jeśli a > 0 {\displaystyle a>0} i b > 0 , {\displaystyle b>0,} to a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} >0[3].
  • zapis a > 0 {\displaystyle a>0} oznacza, że a ∈ D {\displaystyle a\in D} [4], a zapis − a > 0 {\displaystyle -a>0} oznacza, że a ∈ − D {\displaystyle a\in -D} [5].
  • zapis a > b {\displaystyle a>b} oznacza, że a − b > 0 {\displaystyle a-b>0} [6].

Własności

  • Dla każdych dwóch elementów a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} albo a = b , {\displaystyle a=b,} albo a > b , {\displaystyle a>b,} albo b > a . {\displaystyle b>a.} Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało K . {\displaystyle K.}
  • Jeśli a > 0 {\displaystyle a>0} i b < 0 , {\displaystyle b<0,} to a b < 0. {\displaystyle ab<0.}

Dowód: a > 0 {\displaystyle a>0} i − b > 0 , {\displaystyle -b>0,} to − a b > 0 , {\displaystyle -ab>0,} czyli − ( a b ) > 0 {\displaystyle -(ab)>0} a stąd a b < 0. {\displaystyle ab<0.}

  • Jeśli c > 0 {\displaystyle c>0} i a > b , {\displaystyle a>b,} to a c > b c . {\displaystyle ac>bc.}

Dowód: a c − b c = ( a − b ) c > 0. {\displaystyle ac-bc=(a-b)c>0.} Dlatego a c > b c . {\displaystyle ac>bc.}

  • Jeśli a c > b c {\displaystyle ac>bc} i c > 0 , {\displaystyle c>0,} to a > b . {\displaystyle a>b.}

Dowód: a ≠ b , {\displaystyle a\neq b,} bo jeśli a = b , {\displaystyle a=b,} to a c = b c , {\displaystyle ac=bc,} co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli b > a , {\displaystyle b>a,} to b c > a c , {\displaystyle bc>ac,} co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego a > b . {\displaystyle a>b.}

  • Jeśli c < 0 {\displaystyle c<0} i a > b , {\displaystyle a>b,} to a c < b c . {\displaystyle ac<bc.}
  • Dla każdego niezerowego elementu a {\displaystyle a} ciała K {\displaystyle K} zachodzi nierówność a 2 = a ⋅ a > 0. {\displaystyle a^{2}=a\cdot a>0.} W szczególności 1 2 = 1 > 0. {\displaystyle 1^{2}=1>0.}
  • n = 1 + … + 1 ⏟ n  razy > 0 , {\displaystyle n=\underbrace {1+\ldots +1} _{n{\text{ razy}}}>0,} czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0.
  • Jeśli a > 0 , {\displaystyle a>0,} to a − 1 > 0. {\displaystyle a^{-1}>0.}

Dowód: a ⋅ a − 1 = 1 > 0 {\displaystyle a\cdot a^{-1}=1>0} i dlatego a − 1 > 0. {\displaystyle a^{-1}>0.}

  • Jeśli b c > 0 , {\displaystyle bc>0,} to b c > 0. {\displaystyle {\frac {b}{c}}>0.}

Dowód: b c = b c c 2 = b c 1 c 2 > 0 {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {bc}{c^{2}}}=bc{\frac {1}{c^{2}}}>0}

Przykłady

  • Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowane[7].
  • Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych.
  • Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi:
    • ciało liczb zespolonych, Dowód: gdyby było ciałem uporządkowanym, to dla niezerowego a {\displaystyle a} znaki liczb a {\displaystyle a} oraz a − 1 {\displaystyle a^{-1}} byłyby identyczne. Tymczasem i − 1 = − i . {\displaystyle i^{-1}=-i.}
    • dowolne ciało skończone.

Ciała archimedesowe

W każdym ciele K {\displaystyle K} charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych Z = { n : n = 1 + … + 1 ⏟ n  razy } . {\displaystyle \mathbb {Z} =\{n:n=\underbrace {1+\ldots +1} _{n{\text{ razy}}}\}.} Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu a ∈ K {\displaystyle a\in K} istnieje taka liczba całkowita n , {\displaystyle n,} że a < n {\displaystyle a<n} [8].

  • Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne[9].
  • Ciało liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } może być uporządkowane tylko w jeden sposób[9].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969, s. 62. (ros.).
  2. ↑ W książce E. Artina Algebra geometryczna nie zakłada się przemienności mnożenia w ciele.
  3. ↑ ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976, s. 274. (ros.).
  4. ↑ Mówimy wtedy, że a {\displaystyle a} jest większy od zera.
  5. ↑ Mówimy wtedy, że a {\displaystyle a} jest mniejszy od zera i zapisujemy to a < 0. {\displaystyle a<0.}
  6. ↑ Mówimy wtedy, że a {\displaystyle a} jest większy od b . {\displaystyle b.}
  7. ↑ E. Artin, op. cit., s. 66–70.
  8. ↑ E. Artin, op. cit., s. 70.
  9. ↑ a b E. Artin, op. cit., s. 71.

Bibliografia

  • ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976. (ros.).
  • Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.).