Parallellogramloven

Parallellogramloven er i geometri en sammenheng mellom lengdene av sidene og diagonalene i et parallellogram. I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet gjelder også en generalisert form for parallellogramloven, som en normidentitet mellom lineærkombinasjoner av to vektorer.

Lar en hjørnene i et parallellogran være betegnet A, B, C og D, slik som vist på figuren til høyre, så kan lengden av sidene betegnes AB, BC, CD og DA. Lengden av de to diagonalene er AC og BD. I euklidsk geometri er lengden av motstående sider i et parallellogram like lange, slik at AB = CD and BC = DA. Parallellogramloven kan da uttrykkes som

${\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,}$

Dersom parallellogrammet også er et rektangel, så er de to diagonalene like lange: AC = BD. Parallellogramloven reduserer seg da til Pythagoras’ læresetning:

${\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,}$

Parallellogramloven i indreproduktrom

I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet er parallellogramloven en identitet mellom vektornormer:^[1]

${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,}$

Identiteten vil være oppfylt for alle vektorer x og y. Sammenhengen mellom normen og indreproduktet er gitt ved

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle ,\,}$

og bevis for at identiteten er oppfylt følger umiddelbart fra egenskaper til indreproduktet:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,}$

${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,}$

Parallellogramloven framkommer ved å summere de to uttrykkene:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.\,}$

Dersom x er ortogonal til y, da er ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0}$ og parallellogramloven reduserer seg igjen til Pythagoras' læresetning:

${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2}.}$

Referanser