Stelling van Lindemann-Weierstrass

De stelling van Lindemann-Weierstrass gaat over een bepaald resultaat in de getaltheorie. De stelling zegt, dat algebraïsche lineaire combinaties van algebraïsche machten van e niet nul kunnen zijn. Uit deze stelling kan afgeleid worden dat e en π transcendent getallen zijn. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Ferdinand von Lindemann en Karl Weierstrass.

Stelling

Laat ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ verschillende algebraïsche getallen zijn en ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$ willekeurige algebraïsche getallen, die niet alle gelijk zijn aan 0, dan geldt

${\displaystyle \beta _{1}e^{\alpha _{1}}+\ldots +\beta _{n}e^{\alpha _{n}}\neq 0}$.

Met behulp van deze zeer algemene stelling bewees von Lindemann de duidelijk zwakkere resultaten dat e en π transcendent zijn.

Gevolgen

De volgende resultaten zijn een direct gevolg van de stelling:

• Zou ${\displaystyle e}$ een algebraïsch getal zijn, dan zouden er gehele getallen ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$ moeten zijn, niet alle gelijk aan nul, zodat

${\displaystyle \beta _{0}e^{0}+\beta _{1}e^{1}+\ldots +\beta _{n}e^{n}=0,}$

wat duidelijk in tegenspraak is met de bovengenoemde stelling.

• Om de transcendentie van ${\displaystyle \pi }$ af te leiden, veronderstelt men dat ${\displaystyle \pi }$ een algebraïsch getal zou zijn. Omdat de algebraïsche getallen een lichaam vormen, moet dan ook ${\displaystyle \pi i}$ algebraïsch zijn, waarin ${\displaystyle i}$ de imaginaire eenheid is. Voor ${\displaystyle n=1,\beta _{0}=\beta _{1}=1,\alpha _{0}=\pi i}$ en ${\displaystyle \alpha _{1}=0}$ krijgt men een tegenspraak met de bovengenoemde stelling, want volgens de formule van Euler geldt:

${\displaystyle e^{\pi i}+1=e^{\pi i}+e^{0}=0}$.

• Duidelijk is dat de natuurlijke logaritme van een algebraïsch getal een transcendent getal is. Immers, stel dat ${\displaystyle \alpha }$ een algebraïsch getal is, dan geldt

${\displaystyle e^{\ln(\alpha )}-\alpha e^{0}=0}$

en hierin zijn behalve ${\displaystyle \ln(\alpha )}$ alle coëfficiënten algebraïsch.

• Is ${\displaystyle \alpha }$ een van 0 verschillend algebraïsch getal, dan volgt uit de stelling ook dat de getallen ${\displaystyle e^{\alpha }}$, sin(α), cos(α), tan(α), sinh(α), cosh(α) en tanh(α) transcendent zijn.

Korte tijd na het bewijs van de stelling van Lindemann-Weierstrass leverde David Hilbert een duidelijk vereenvoudigd bewijs voor de speciale gevallen van de transcendentie van de wiskundige constanten ${\displaystyle e}$ en ${\displaystyle \pi }$, waaruit ook weer de algemene stelling af te leiden is.

Literatuur

• (de) Ferdinand Lindemann: Über die Zahl ${\displaystyle \pi }$. (1882) In: Mathematische Annalen 20, pp. 213 - 225.
• (de) David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und ${\displaystyle \pi }$. (1893) In: Mathematische Annalen 43, pp. 216 - 219.