Rekenkundige rij

Een rekenkundige rij is in de wiskunde een rij waarin het verschil tussen twee opeenvolgende termen constant is. Elke volgende term ontstaat door bij zijn voorganger een constante, verschil genaamd, op te tellen. Zijn de eerste term $t_{1}$ en het verschil $v$ bekend, dan ligt de gehele rij vast, immers de tweede term is $t_{2}=t_{1}+v$ , de derde $t_{3}=t_{2}+v=t_{1}+2v$ , enz. Zo wordt de $n$ -de term gegeven door:

t_{n}=t_{1}+(n-1)v

De partiële som $S_{n}$ van de eerste $n$ termen van een rekenkundige rij wordt gegeven door

S_{n}={\tfrac {1}{2}}n(t_{1}+t_{n})=nt_{1}+{\tfrac {1}{2}}(n-1)nv

Voorbeeld

Gegeven is de rekenkundige rij: 2, 4, 6, 8, 10, .... Gevraagd: de 15e term en de som van de eerste 15 termen.

Oplossing

t_{1}=2,\ v=2,\ n=15

dus

t_{15}=2+(15-1)2=2+28=30

S_{15}={\tfrac {1}{2}}\cdot 15\cdot (2+30)=240

Afleiding van de somformule

De som $S_{n}$ van de eerste $n$ termen is:

S_{n}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+\ldots +t_{n}

en andersom opgeschreven:

S_{n}=t_{n}+t_{n-1}+t_{n-2}+\ldots +t_{1}

Opgeteld levert dit:

2S_{n}=(t_{1}+t_{n})+(t_{2}+t_{n-1})+(t_{3}+t_{n-2})+\ldots +(t_{n}+t_{1})

Nu is de som van elk tweetal tussen haakjes staande termen gelijk, want:

t_{1}+t_{n}=t_{1}+v+t_{n}-v=t_{2}+t_{n-1}=t_{2}+v+t_{n-1}-v=t_{3}+t_{n-2}=\ldots

Zodat:

2S_{n}=(t_{1}+t_{n})+(t_{1}+t_{n})+(t_{1}+t_{n})+\ldots +(t_{1}+t_{n})=n(t_{1}+t_{n})

Dit resulteert in:

S_{n}={\tfrac {1}{2}}n(t_{1}+t_{n}).

Omdat:

t_{n}=t_{1}+(n-1)v

volgt door invulling:

S_{n}={\tfrac {1}{2}}n(t_{1}+t_{n})={\tfrac {1}{2}}n(t_{1}+t_{1}+(n-1)v)=nt_{1}+{\tfrac {1}{2}}(n-1)nv.

Alhoewel deze afleiding al eerder gekend was, wordt hij vaak aan de toen 9-jarige Gauss toegeschreven die deze formule uitwerkte toen zijn onderwijzer de opdracht gaf om de som te berekenen van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 60.