Möbius-transformatie

In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een möbius-transformatie van het vlak een rationale functie van de vorm

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

van een complexe variabele ${\displaystyle z}$, met de coëfficiënten ${\displaystyle a,b,c,d}$ complexe getallen die voldoen aan ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$. Möbius- transformaties zijn genoemd naar August Ferdinand Möbius, maar worden ook wel homografische transformaties, lineaire fractionele transformaties of gebroken lineaire transformaties genoemd.

Overzicht

Möbius-transformaties worden gedefinieerd op het uitgebreide complexe vlak (dat wil zeggen het complexe vlak vermeerderd met het punt op oneindig):

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty }$

Dit uitgebreide complexe vlak kan worden beschouwd als een sfeer, de riemann-sfeer, of als de complexe projectieve lijn. Elke möbius-transformatie is een bijectieve hoekgetrouwe afbeelding van de riemann-sfeer op zichzelf. Inderdaad is elke zodanige afbeelding is noodzakelijk een möbius-transformatie.

De verzameling van alle möbius-transformaties vormen een groep onder compositie, die de möbius-groep wordt genoemd. Het is de automorfismegroep van de riemann-sfeer (wanneer deze beschouwd wordt als een riemann-oppervlak) en wordt soms aangeduid door

${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\widehat {\mathbb {C} }})}$