Lineaire afbeelding

In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart, wat inhoudt dat zowel de optelling als de scalaire vermenigvuldiging behouden blijven. Het beeld van de som van vectoren is gelijk aan de som van de beelden, en het beeld van een (scalaire) veelvoud van een vector is gelijk aan hetzelfde veelvoud van het beeld. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten en modulen.

Definitie

Een afbeelding ${\displaystyle f:V\to W}$, waarbij ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld) ${\displaystyle K}$ zijn, heet lineair als voor elk paar ${\displaystyle x,y\in V}$ en elk element ${\displaystyle \lambda \in K}$:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$

en

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$.

Zolang niet uitdrukkelijk gebruikgemaakt wordt van het feit dat scalairen ongelijk nul een omgekeerde hebben, gaat bovenstaande definitie naadloos over naar algemenere lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. De theorie blijft een tijdlang analoog, behalve dat niet ieder moduul een basis heeft (nodig voor onder meer de dimensiestelling).

Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.

Combineren van lineaire afbeeldingen

De verzameling ${\displaystyle \mathrm {Lin} (V,W)}$ van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte ${\displaystyle V}$ naar een vaste vectorruimte ${\displaystyle W}$, beide over het lichaam ${\displaystyle K}$, is met een geschikte optelling en vermenigvuldiging met een scalair zelf ook een vectorruimte over ${\displaystyle K}$.

Voor de lineaire afbeeldingen ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ van ${\displaystyle V}$ naar ${\displaystyle W}$ wordt de som ${\displaystyle f+g}$ gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element ${\displaystyle v\in V}$ de som van de beelden onder ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ toevoegt:

${\displaystyle (f+g)(v)=f(v)+g(v)}$

en wordt voor een element ${\displaystyle \lambda \in K}$ het veelvoud ${\displaystyle \lambda f}$ gedefinieerd als de lineaire afbeelding die aan elk element ${\displaystyle v\in V}$ het ${\displaystyle \lambda }$-veelvoud van het beeld onder ${\displaystyle f}$ toevoegt:

${\displaystyle (\lambda f)(v)=\lambda f(v)}$

De verzameling ${\displaystyle \mathrm {Lin} (V,W)}$ is een deelruimte van de vectorruimte ${\displaystyle V^{W}}$ over ${\displaystyle K}$ van de functies van ${\displaystyle V}$ naar ${\displaystyle W}$.

Van de lineaire afbeeldingen ${\displaystyle f:V\to W}$ en ${\displaystyle h:W\to U}$, waarin ${\displaystyle V,W}$ en ${\displaystyle U}$ vectorruimten over het lichaam ${\displaystyle K}$ zijn, is ook de samenstelling een lineaire afbeelding:

${\displaystyle (h\circ f)(v)=h(f(v))}$.

Nulruimte en beeldruimte

De nulruimte ${\displaystyle N_{f}}$ of kern van een lineaire afbeelding ${\displaystyle f}$ is de verzameling van alle vectoren die door ${\displaystyle f}$ op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van ${\displaystyle f}$, het bereik, heet ook de beeldruimte ${\displaystyle B_{f}}$ van ${\displaystyle f}$. Zowel de nulruimte als de beeldruimte van een lineaire afbeelding is weer een lineaire ruimte.

Matrix

De lineaire afbeelding ${\displaystyle \mathbf {A} \colon V\to W}$ van de ${\displaystyle m}$-dimensionale vectorruimte ${\displaystyle V}$ naar de ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte ${\displaystyle W}$ beeldt de basisvectoren ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$ van ${\displaystyle V}$ af op de vectoren

${\displaystyle A_{1}=\mathbf {A} v_{1},\ldots ,A_{m}=\mathbf {A} v_{m}\in W}$,

die, zoals alle vectoren in ${\displaystyle W}$, kunnen worden geschreven als lineaire combinatie van de basisvectoren ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ van ${\displaystyle W}$:

${\displaystyle A_{k}=\mathbf {A} v_{k}=\alpha _{k1}w_{1}+\ldots +\alpha _{kn}w_{n}}$

De bijbehorende ${\displaystyle n\times m}$-matrix ${\displaystyle A=(A_{rk})}$ heeft als elementen de coördinaten ${\displaystyle \alpha _{kr}}$, en wel is

${\displaystyle A_{rk}=\alpha _{kr}}$

Voor een vector ${\displaystyle x\in V}$, met

${\displaystyle x=\xi _{1}v_{1}+\ldots +\xi _{m}v_{m}}$

geldt:

${\displaystyle \mathbf {A} x=\eta _{1}w_{1}+\ldots +\eta _{n}w_{n}}$,

waarin

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}\\\vdots \\\eta _{m}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}\xi _{1}\\\vdots \\\xi _{m}\end{bmatrix}}}$

Voorbeelden

Voorbeeld 1

De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.

Voorbeeld 2

De afbeelding ${\displaystyle D:C^{1}\to C^{0}:f\mapsto f'}$ die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn ${\displaystyle C^{0},C^{1}}$ respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.

Voorbeeld 3

De afbeelding ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2};(x,y)\mapsto (x+y,2x+3y)}$, is lineair. De bijbehorende matrix is:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\2&3\end{bmatrix}}}$

Het eerste element van de beeldvector is gelijk aan het standaardinproduct van de argumentvector ${\displaystyle (x,y)}$ met de bovenste rij van de matrix; het tweede element van de beeldvector is gelijk aan het standaardinproduct van de argumentvector ${\displaystyle (x,y)}$ met de onderste rij van de matrix.

Voorbeeld 4

De afbeelding ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :(x,y)\mapsto 3x+6y}$ is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. De kern van deze afbeelding is het ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm ${\displaystyle (2z,-z)}$. Het beeld is ${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$, de verzameling van alle drievouden.

Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.

Eigenschappen

Dimensiestelling

De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen luidt: Laat ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ eindigdimensionale vectorruimten zijn en ${\displaystyle f:V\to W}$ een lineaire afbeelding van ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle W}$. Dan is:

${\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))+\dim(\mathrm {Im} (f))=\dim V\ }$,

waarbij ${\displaystyle \mathrm {Im} (f)}$ het beeld en ${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)}$ de kern van ${\displaystyle f}$ is.

Uit deze stelling volgt onmiddellijk:

Zij ${\displaystyle f:V\to W}$ een lineaire afbeelding en ${\displaystyle \dim V=\dim W}$, dan is ${\displaystyle f}$ injectief dan en slechts dan als ${\displaystyle f}$ surjectief is.

Hieruit volgt weer: als ${\displaystyle f}$ injectief of surjectief is, dan is ${\displaystyle f}$ een bijectie, en dus vanwege de lineariteit een isomorfisme.