Een jacobi-polynoom is een door Carl Jacobi bedachte polynoom die een uitbreiding betekent van de legendre-polynoom.
Definitie
De jacobi-polynomen zijn gedefinieerd door:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f26d4dd23861435376597d59e93587e78c2063dc)
of in termen van de hypergeometrische functie
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7146ce644ac69c3147c70664a28a820493b69f1)
Eigenschappen
De waarde voor
is
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00c46e240dcb9a1b7bc98ebeb1d4d80355a7c10d)
Zij hebben de symmetrierelatie
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbb2aa32e044758b2312a4e02f7a466b37aed4b)
waaruit de waarde voor
wordt verkregen:
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31e46dfad32476cf22779390a80a70bc44b0bbd)
Zij vormen een orthogonaal stelsel op het interval
met betrekking tot de gewichtsfunctie:
![{\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799766e6a55610beb9f361b7ce4e526562c5065c)
Dit betekent, dat
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}w(x)P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507f4368bb9bd1510008483921fe517fd8f09e09)
Waarbij
de kroneckerdelta voorstelt, dus de elementen van de eenheidsmatrix.
We zien dus dat een legendre-polynoom
een bijzonder geval is van de jacobi-polynoom:
![{\displaystyle P_{n}(x)=P_{n}^{(0,0)}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ffe38d367bf8ca3fb25db38801a98901f8d5d7)