Faculteit (wiskunde)

n {\displaystyle n} n ! {\displaystyle n!}
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000

De faculteit van een natuurlijk getal n {\displaystyle n} , genoteerd als n ! {\displaystyle n!} (n faculteit), is het product van de getallen 1 {\displaystyle 1} tot en met n {\displaystyle n} :

n ! = ∏ k = 1 n k = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n {\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n}

Recursief geldt dus voor de faculteit:

n ! = n ( n − 1 ) ! {\displaystyle n!=n(n-1)!}

Voor bijvoorbeeld n = 5 {\displaystyle n=5} is:

5 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 {\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}

In overeenstemming met de definitie van het lege product is afgesproken dat

0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1}

De faculteitsfunctie groeit snel, zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden, met nul, staan hiernaast. Het aantal decimalen van n! , met n > 1 , is gelijk aan 10log 1 + ... + 10log n naar boven afgerond.

⌈ 10 log ⁡ n ! ⌉ = ⌈ ∑ i = 1 n 10 log ⁡ i ⌉ {\displaystyle \left\lceil ^{10}\!\log n!\right\rceil =\left\lceil \sum _{i=1}^{n}\,^{10}\!\log i\right\rceil }

Voor n = 1000 komt het aantal decimalen op 2568.

Toepassing

Een belangrijke toepassing van de faculteit is in de combinatoriek, als antwoord op de vraag op hoeveel manieren n {\displaystyle n} elementen kunnen worden gerangschikt. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er n ! {\displaystyle n!} . Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid.

Benadering

Voor grote waarden van n {\displaystyle n} kan de faculteit van dat getal benaderd worden met de formule van Stirling:

n ! ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}

Voor kleine waarden van n {\displaystyle n} is de benadering slecht; voor n=1 geldt bijvoorbeeld 1 ! = 1 {\displaystyle 1!=1} , maar 2 π ⋅ 1 ( 1 / e ) 1 = 0,922 14 … {\displaystyle {\sqrt {2\pi \cdot 1}}\,(1/e)^{1}=0{,}92214\ldots }

De formule wordt veelvuldig toegepast in de statistische fysica, waar n {\displaystyle n} gegeven wordt door het aantal deeltjes, en de discrepantie tussen de echte waarde en Stirlings benadering verwaarloosbaar is.

De onderstaande tabel geeft voor een aantal waarden van n {\displaystyle n} de bijhorende waarde voor n ! {\displaystyle n!} en de benadering volgens Stirling:

n {\displaystyle n} n ! {\displaystyle n!} benadering door Stirling
10 3 628 800 3 598 695,624
20 0,24329 · 1019 0,2422 · 1019
30 0,26525 · 1033 0,2645 · 1033
40 0,8159 · 1048 0,8142 · 1048
50 0,3041 · 1065 0,3036 · 1065
100 0,9333 · 10158 0,9325 · 10158
1000 4,024 · 102567 4,024 · 102567
10 000 2,846 · 1035 659 2,846 · 1035 659

Gammafunctie

Grafiek van de Gammafunctie

De gammafunctie

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}

is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie:

Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}

De gammafunctie is voor alle complexe getallen gedefinieerd, met uitzondering van de negatieve gehele getallen − 1 , − 2 , − 3 , … {\displaystyle -1,-2,-3,\ldots } .

Algoritme

Het onderstaande algoritme geschreven in Python berekent van een ingevoerd getal de faculteit. 

getal = int(input())
fac = getal
while (getal > 2):
    getal -= 1 #getal = getal -1
    fac *= getal #fac = fac * getal

print("De faculteit van het ingevoerde getal is: ",fac)

Zie ook

  • Dubbelfaculteit
  • Subfaculteit
  • Primoriaal